Русская Википедия:Неравенство Птолемея
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.
Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.
Формулировка
Для любых точек <math>A,B,C,D</math> плоскости выполнено неравенство
- <math> AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD, </math>
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда <math>ABCD</math> — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки <math>A,B,C,D</math> лежат на одной окружности.
Замечания
- Случай равенства также называется тождеством Птолемея.
О доказательствах
- Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке <math>A</math>; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math>.[1]
- Существует способ доказательства через прямую Симсона.
- Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку <math>E</math> такую, что <math>\angle ABE=\angle DBC</math>, а потом через подобие треугольников.
- Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.
Следствия
- Теорема Помпею.[2] Рассмотрим точку <math>X</math> и правильный треугольник <math>ABC</math>. Тогда из отрезков <math>XA</math>, <math>XB</math> и <math>XC</math> можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка <math>X</math> лежит на описанной окружности треугольника <math>ABC</math>.
- Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.
Вариации и обобщения
- Соотношение Бретшнайдера
- Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если <math>A_1, A_2, \dots A_6</math> произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)[3]), то
- <math>A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6 +</math>
- <math> +A_2A_3\cdot A_1A_4\cdot A_5A_6+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6,</math>
- причем равенство достигается тогда и только тогда, когда <math>A_1\dots A_6</math> — вписанный шестиугольник.
- Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности <math>\alpha,\beta,\gamma</math> и <math>\delta</math>, касающиеся данной окружности в вершинах <math>A,B,C</math> и <math>D</math> выпуклого четырёхугольника <math>ABCD</math>. Пусть <math>t_{\alpha\beta}</math> — длина общей касательной к окружностям <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); <math>t_{\beta\gamma},t_{\gamma\delta}</math> и т. д. определяются аналогично. Тогда
- <math>t_{\alpha\beta}t_{\gamma\delta}+t_{\beta\gamma}t_{\delta\alpha}=t_{\alpha\gamma}t_{\beta\delta}</math>.
- Граф Птолемея (см. рис.)[4],
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии Шаблон:Wayback. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ О теореме Д. Помпейю Шаблон:Wayback. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Citation.