Русская Википедия:Неравенство Фридрихса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство Фридрихса — теорема функционального анализа, доказанная en (Kurt O. Friedrichs). Оно указывает границу для L^p-нормы функции, используя L^p границы на слабые производные этой функции и геометрию области. Неравенство может быть использовано, чтобы показать эквивалентность некоторых норм на пространстве Соболева.

Пусть Ω — ограниченное подмножество евклидова пространства Rⁿ с диаметром d. Предположим, что u : Ω → R принадлежит пространству Соболева <math>W_{0}^{k, p} (\Omega)</math> (то есть <math>u\in W^{k,p}(\Omega)</math> и tr u = 0). Тогда

<math>\| u \|_{L^{p} (\Omega)} \leq d^{k} \left( \sum_{| \alpha | = k} \| \mathrm{D}^{\alpha} u \|_{L^{p} (\Omega)}^{p} \right)^{1/p},</math>

где

• <math>\| - \|_{L^{p} (\Omega)}</math> обозначает L^p-норму;
• α = (α₁, …, α_n) — мультииндекс с нормой |α| = α₁ + … + α_n;
• D^αu — смешанная частная производная

<math>\mathrm{D}^{\alpha} u = \frac{\partial^{| \alpha |} u}{\partial_{x_{1}}^{\alpha_{1}} \cdots \partial_{x_{n}}^{\alpha_{n}} }.</math>

Близким результатом является [[|en]] (Poincaré inequality).