Русская Википедия:Неравенство Фробениуса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В линейной алгебре неравенством Фробе́ниуса называют следующее неравенство для рангов матриц:

<math>\mathrm{rank}\,AB + \mathrm{rank}\,BC \leqslant \mathrm{rank}\,ABC + \mathrm{rank}\,B.</math>

В этом неравенстве размерности матриц <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> должны позволять существование матрицы <math>ABC</math> (т. е. эти матрицы имеют размерности <math>i \times j</math>, <math>j \times k</math> и <math>k \times l</math> соответственно).

Неравенство названо в честь открывшего его математика Ф. Г. Фробениуса.

Первое доказательство

Если <math>U \sub V</math> и <math>X: V \rightarrow W</math>, то <math>\dim \mathrm{Ker}\,X_{U} \leqslant \dim \mathrm{Ker}\,X = \dim V - \dim \mathrm{Im}\,X</math>.

Запишем это неравенство для <math>U = \mathrm{Im}\,BC, V = \mathrm{Im}\,B, X = A</math>:

<math>\dim \mathrm{Ker}\,A_{\mathrm{Im}\,B} = \dim \mathrm{Im}\,B - \dim \mathrm{Im}\,AB</math>

Ясно также, что <math>\dim \mathrm{Ker}\,A_{\mathrm{Im}\,BC} = \dim \mathrm{Im}\,BC - \dim \mathrm{Im}\,ABC</math>Шаблон:Sfn.

Второе доказательство

Рассмотрим блочную матрицу

<math>M=

\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & ABC \end{pmatrix}</math>,

применим к матрице <math> M </math> цепочку элементарных преобразований, они, как известно, не изменяют ранг матрицы.

<math>M=

\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & ABC \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} B & 0 \\ AB & ABC \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} B & -BC \\ AB & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} BC & B \\ 0 & AB \end{pmatrix} </math>

Тогда <math> \mathrm{rank}\,B + \mathrm{rank}\,ABC = \mathrm{rank}\,M = \mathrm{rank}\begin{pmatrix} BC & B \\ 0 & AB \end{pmatrix} \geqslant \mathrm{rank}\begin{pmatrix} BC & 0 \\ 0 & AB \end{pmatrix} = \mathrm{rank}\,AB + \mathrm{rank}\,BC </math>

Литература

• Carl D. Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
• Шаблон:Книга