Русская Википедия:Неравенство Харди

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нера́венство Ха́рди — математическое неравенство, названное в честь автора, английского математика Г. Х. Харди. Впервые опубликовано и доказано в 1920 году в заметке Харди, посвящённой упрощению доказательства теоремы Гильберта о двойных рядахШаблон:Sfn.

Формулировка

Приведём современный вариант неравенства; он несколько отличается от приведенного в первой публикации Харди — в 1926 году Эдмунд Ландау уточнил коэффициент в правой частиШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Пусть <math>a_1,a_2,a_3\dots</math> — последовательность неотрицательных вещественных чисел, не все из которых равны нулю. Тогда для любого вещественного числа <math>p>1</math> имеет место неравенство:

<math>\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right )^p < \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p.</math>

|} Константа справа <math>\left (\frac{p}{p-1}\right )^p</math> является оптимальной, то есть в случае любого её уменьшения неравенство может не выполнятьсяШаблон:Sfn.

Интегральная версия

Шаблон:Рамка Если <math>f(x)</math> — неотрицательная интегрируемая функция, тоШаблон:Sfn:

<math>\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\leqslant\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.</math>

|} Равенство левой и правой части возможно тогда и только тогда, когда функция <math>f(x)</math> почти всюду равна нулю.

Замечания

Из неравенства Харди можно вывести как следствие неравенство Карлемана.

У интегрального неравенства Харди имеются многочисленные обобщенияШаблон:Sfn .

Литература

• Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2-е изд., М.: Наука, 1977, 456 с.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:CitationCS1 maint: Uses editors parameter (link) Шаблон:Citation.

Ссылки

• Шаблон:Springer