Русская Википедия:Неравенство Чебышёва
Шаблон:Значения2 Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).
Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.
Неравенство Чебышёва в теории меры
Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства <math>L_p</math> в слабое пространство <math>L_p</math>.
Формулировки
- Пусть <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> — пространство с мерой. Пусть также
- <math>A\in\mathcal{F}</math>
- <math>\phi(x)\geqslant 0</math> — суммируемая на <math>A</math> функция
- <math>c>0</math>.
- Тогда справедливо неравенство:
- <math>\mu\bigl(\{x:x\in A,\phi(x)\geqslant c\}\bigr)\leqslant\frac{1}{c}\int\limits_A\phi(x)\mu(dx)</math>.
- В более общем виде:
- Если <math>g</math> — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения <math>\phi</math>, то
- <math>\mu\bigl(\{x\in A\,:\,\,\phi(x)\geqslant t\}\bigr) \leqslant {1\over g(t)} \int_A g\circ \phi\, \mu(dx).</math>
- В терминах пространства <math>L_p</math>:
- Пусть <math>\phi(x)\in L_p</math>. Тогда <math>\mu\Bigl(\bigl\{x\in A\,\big|\, |\phi(x)| > t\bigr\}\Bigr)\leqslant \frac{\|\phi\|_p^p}{t^p}.</math>
Неравенство Чебышёва может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.
Неравенство Чебышёва в теории вероятностей
Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.
Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.
Формулировки
Пусть случайная величина <math>X\colon\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> определена на вероятностном пространстве <math>(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})</math>, а её математическое ожидание <math>\mu</math> и дисперсия <math>\sigma^2</math> конечны. Тогда
- <math>\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant a\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2}</math>,
где <math>a>0</math>.
Если <math>a = k \sigma</math>, где <math>\sigma</math> — стандартное отклонение и <math>k > 0</math>, то получаем
- <math>\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}</math>.
В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на <math>2</math> стандартных отклонения, с вероятностью меньше <math>25\%</math>. Отклоняется от среднего на <math>3</math> стандартных отклонения с вероятностью меньше <math>11.12\%</math>. Иными словами, случайная величина укладывается в <math>2</math> стандартных отклонения с вероятностью <math>75\%</math> и в <math>3</math> стандартных отклонения с вероятностью <math>88.88\%</math>
Для важнейшего случая одномодальных распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница в <math>3</math> стандартных отклонения включает <math>95.06\%</math> значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где <math>3</math> стандартных отклонения включают <math>99.73\%</math> значений случайной величины.
См. также
Литература
Ссылки
- Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва
- П. Л. Чебышевъ, “О среднихъ величинахъ”, Матем. сб., 2:1 (1867), 1–9
