Русская Википедия:Неравенство Чебышёва для сумм

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство Чебышёва для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если

<math>a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n</math>

и

<math>b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,</math>

то

<math>{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).</math>

Аналогично, если

<math>a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n</math>

и

<math>b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,</math>

то

<math>{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).</math>

Доказательство

Неравенство Чебышёва для сумм легко выводится из перестановочного неравенства:

Предположим, что

<math>a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n</math>

и

<math>b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n.</math>

В виду перестановочного неравенства выражение

<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n</math>

является максимально возможным значением скалярного произведения рассматриваемых последовательностей. Суммируя неравенства

<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n</math>

<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1</math>

<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2</math>

<math>\vdots</math>

<math>a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geqslant a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1}</math>

получаем

<math>n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);</math>

или, разделив на <math>n^2</math>:

<math>\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.</math>

Непрерывный случай

Существует также непрерывный аналог неравенства Чебышёва для сумм:

Если f(x) и g(x) — это вещественные интегрируемые на [0,1] функции, возрастающие или убывающие одновременно, то

<math> \int\limits_0^1 f(x)g(x)\,dx \geqslant \int\limits_0^1 f(x)\,dx \int\limits_0^1 g(x)\,dx.</math>