Русская Википедия:Неравенство Шура

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В математике неравенство Шура, названное в честь математика Исая Шура, утверждает, что для произвольных неотрицательных действительных чисел <math>x, y, z</math> и <math>t</math> выполняется неравенство:

<math>x^t(x - y)(x - z) + y^t(y - x)(y - z) + z^t(z - x)(z - y) \geqslant 0 </math>

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда <math>x=y=z </math> или два числа среди них равны между собой, а третье равно нулю. Если <math> t </math> будет натуральным и чётным, то неравенство будет выполняться для всех действительных <math>x,y,z</math>.

Самым распространённым и известным применением неравенства является частный случай, когда <math>t=1</math>:

<math>x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz \geqslant x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x +z^2y </math>

Доказательство

Поскольку неравенство симметрично относительно переменных <math>x, y, z </math>, то без ограничения общности можно считать, что <math>x \geqslant y\geqslant z</math>. Тогда неравенство Шура становится равносильным следующему неравенству:

<math>(x-y)[x^t(x-z) - y^t(y-z)] + z^t(z-x)(z-y) \geqslant 0</math>

которое выполняется потому, что <math>x^t(x-z) \geqslant x^t(y-z) \geqslant y^t(y-z)</math>. Также из этого рассуждения видно, что равенство возможно только при <math>x = y = z</math> или <math>x = y </math> и <math>z = 0</math>. Учитывая симметричные данному варианты можно получить, что в исходном неравенстве равенство достигается тогда и только тогда, когда <math>x = y = z</math> или двое из чисел <math>x, y, z</math> равны между собой, а третье равно нулю, что и требовалось доказать.

Обобщения

Обобщением неравенства Шура является следующее неравенство: для всех действительных <math>x, y, z</math> и неотрицательных действительных <math>a, b, c</math>:

<math>a(x-y)(x-z) + b(y-x)(y-z) + c(z-x)(z-y) \geqslant 0</math>

если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• <math>x \geqslant y\geqslant z</math> и <math>a \geqslant b</math>
• <math>x \geqslant y\geqslant z</math> и <math>c \geqslant b</math>
• <math>x \geqslant y\geqslant z</math> и <math>a + c \geqslant b</math>
• <math>x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0</math> и <math>ax \geqslant by</math>
• <math>x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0</math> и <math>cz \geqslant by</math>
• <math>x \geqslant y \geqslant z \geqslant 0</math> и <math>ax + cz \geqslant by</math>
• <math>a, b, c</math> - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• <math>a, b, c</math> - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• <math>ax, by, cz</math> - стороны некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• <math>ax, by, cz</math> - квадраты сторон некоторого треугольника (возможно, вырожденного)
• Существует выпуклая или монотонная функция <math>f : \mathbb{I} \longrightarrow \mathbb{R^+}</math> , где <math>\mathbb{I}</math>- это интервал, который содержит числа <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, причём <math>a = f(x)</math>, <math>b = f(y)</math>, <math>c = f(z)</math>

Другое возможное обобщение утверждает, что если неотрицательные действительные числа <math>x\geq y\geq z\geq v </math> и положительное действительное число <math>t</math> таковы, что <math>x + v \geq y + z</math>, то:

<math>x^t (x-y)(x-z)(x-v) + y^t (y-x)(y-z)(y-v) + z^t (z-x)(z-y)(z-v) + v^t (v-x)(v-y)(v-z) \ge 0. </math>