Нера́венство Ю́нга — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.
Формулировка
Пусть <math>a,b \geqslant 0</math> и <math>p,q >\!\ 1</math> — сопряженные показатели (то есть такие числа, что <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1</math>). Тогда
- <math>ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math>.
Равенство достигается в том и только том случае, когда <math>a^p = b^q</math>.
Доказательство
Для <math>a=0</math> или <math>b=0</math> неравенство очевидно. Для <math>a>0</math>, <math>b>0</math> неравенство следует из выпуклости вверх логарифмической функции: для любых <math>x_1</math>, <math>x_2>0</math>
<math>\ln(\alpha x_1 + \beta x_2) \geqslant \alpha \ln x_1 + \beta \ln x_2, EducationBot (обсуждение) \forall \alpha, \beta \geqslant 0, \alpha + \beta = 1</math>.
Положив в этом неравенстве <math> \alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a^p, ~ x_2 = b^q</math>, получим, что
<math>\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geqslant \frac{\ln (a^p)}{p}+\frac{\ln (b^q)}{q}=\ln \left(ab\right)</math>,
откуда следует неравенство Юнга.
Альтернативный вариант
Можно показать, что неравенство Юнга является частным случаем неравенства Юнга — Фенхеля, которое для скалярной функции записывается в виде:
- <math> f(x) + f^\star(y)\geqslant y \cdot x, </math>
где <math>f^\star(y) = \max_x \left\lbrace xy - f(x) \right\rbrace</math> — преобразование Лежандра от функции <math>f(x)</math>. Если положить <math>f(x)=\frac{x^p}{p}</math>, то преобразование Лежандра в точке <math>y = x^{p-1}</math> даёт
- <math> f^\star (y)= xy - \frac{x^p}{p} = \frac{y^q}{q}, </math>
где <math>\frac{1}{q} = 1 - \frac{1}{p}</math>. Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.
См. также
Шаблон:Rq
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|