Русская Википедия:Неравенство Юнга

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нера́венство Ю́нга — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка

Пусть <math>a,b \geqslant 0</math> и <math>p,q >\!\ 1</math> — сопряженные показатели (то есть такие числа, что <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1</math>). Тогда

<math>ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math>.

Равенство достигается в том и только том случае, когда <math>a^p = b^q</math>.

Доказательство

Для <math>a=0</math> или <math>b=0</math> неравенство очевидно. Для <math>a>0</math>, <math>b>0</math> неравенство следует из выпуклости вверх логарифмической функции: для любых <math>x_1</math>, <math>x_2>0</math>

<math>\ln(\alpha x_1 + \beta x_2) \geqslant \alpha \ln x_1 + \beta \ln x_2, EducationBot (обсуждение) \forall \alpha, \beta \geqslant 0, \alpha + \beta = 1</math>.

Положив в этом неравенстве <math> \alpha = p^{-1}, ~ \beta = q^{-1}, ~ x_1 = a^p, ~ x_2 = b^q</math>, получим, что

<math>\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geqslant \frac{\ln (a^p)}{p}+\frac{\ln (b^q)}{q}=\ln \left(ab\right)</math>,

откуда следует неравенство Юнга.

Альтернативный вариант

Можно показать, что неравенство Юнга является частным случаем неравенства Юнга — Фенхеля, которое для скалярной функции записывается в виде:

<math> f(x) + f^\star(y)\geqslant y \cdot x, </math>

где <math>f^\star(y) = \max_x \left\lbrace xy - f(x) \right\rbrace</math> — преобразование Лежандра от функции <math>f(x)</math>. Если положить <math>f(x)=\frac{x^p}{p}</math>, то преобразование Лежандра в точке <math>y = x^{p-1}</math> даёт

<math> f^\star (y)= xy - \frac{x^p}{p} = \frac{y^q}{q}, </math>

где <math>\frac{1}{q} = 1 - \frac{1}{p}</math>. Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.

См. также

• Теорема Юнга