Русская Википедия:Неравенство треугольника
Нера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух его других сторон (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны меньше суммы длин двух других сторон).
Евклидова геометрия
Неравенство
- <math>AC \leqslant AB+BC,</math>
выполняется в любом треугольнике <math>\triangle ABC</math>. Причём равенство <math>AC = AB+BC</math> достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка <math>B</math> лежит строго между <math>A</math> и <math>C</math>.
Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.
Нормированное пространство
Пусть <math>(X,\|\cdot\|)</math> — нормированное векторное пространство, где <math>X</math> — произвольное множество, а <math>\|\cdot\|</math> — определённая на <math>X</math> норма. Тогда по определению последней справедливо:
- <math>\|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\|,\quad \forall x,y\in X.</math>
Гильбертово пространство
В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.
Метрическое пространство
Пусть <math>(X,\rho)</math> — метрическое пространство, где <math>X</math> — произвольное множество, а <math>\rho</math> — определённая на <math>X</math> метрика. Тогда по определению последней
- <math>\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z) + \rho(z,y),\quad x,y,z\in X.</math>
Вариации и обобщения
- <math>d(x,z) \leqslant \max( d(x,y), d(y,z) )</math> Сильное неравенство треугольника
Обратное неравенство треугольника
Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:
- <math>\bigl| \|x\| - \|y\| \bigr| \leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;</math>
- <math>| \rho(x,y) - \rho(x,z) | \leqslant \rho(y,z), \quad x,y,z\in X.</math>
Неравенство треугольника для трёхгранного угла
Шаблон:See also Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
Произвольное число точек
Обозначим <math>\rho(x_{i}, x_{j})</math> расстояние между точками <math>x_{i}</math> и <math>x_{j}</math>. Тогда имеет место следующее неравенство: <math>\rho(x_{1}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{3}) + ... + \rho(x_{m-1}, x_{m}) </math>. Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: <math>\rho(x_{1}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{m}) \leqslant \rho(x_{1}, x_{2}) + \rho(x_{2}, x_{3}) + \rho(x_{3}, x_{m}) \leqslant ...</math>[1]
См. также
Примечания
- ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 28
