Русская Википедия:Неравенство треугольника Ружа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство треугольника Ружа связывает все попарные множества разностей трёх множеств в произвольной группе.

Формулировка

Пусть <math>(G, +)</math> — группа и <math>U, V, W \subset G</math>.

Тогда <math>|U|\cdot |V-W| \le |V-U|\cdot |U-W|</math>, где <math>A-B = \left\lbrace{a-b : a \in A, b \in B}\right\rbrace</math>.

Неравенство треугольника со сложением

Имеется ещё одно неравенство, аналогичное неравенству треугольника Ружи, которое, однако, доказывается сложнее, чем классическое - с использованием неравенство Плюннеке-Ружа, которое само доказывается с испооьзованием классического неравенства Ружи.

<math>|U|\cdot |V+W| \le |V+U|\cdot |U+W|</math>

Доказательство

Рассмотрим функцию <math>\varphi : (V-U) \times (U-W) \to (V-W)</math>, определяемую как <math>\varphi(x,y)=x+y</math>. Тогда для каждого образа <math>v-w \in V-W</math> существует не менее <math>|U|</math> различных прообразов вида <math>(v-u, u-w), u \in U</math>. Это означает, что общее число прообразов не меньше, чем <math>|V-W| |U|</math>. Значит, <math>|U| |V-W| \le |V-U| |U-W|</math>

Аналогия с неравенством треугольника

Рассмотрим функцию, определяющую "расстояние между множествами" в терминах разности Минковского:

<math>\rho(A, B) = \log \frac{|A-B|}{\sqrt{|A| |B|}}</math>

Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство <math>\rho(A,A)=0</math>, но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следует неравенство треугольника для неё:

<math>\rho(V, W) \le \rho(V, U) + \rho(U, W)</math>

Следствия

Подставив <math>V=W=A, U=B</math>, получим

<math>|B|\cdot |A-A| \le |A-B|^2</math>

<math>|A-A| \le \left({\frac{|A-B|}{|B|}}\right)\cdot |A-B|</math>

<math>|A-B| \le K\cdot |B|, K \in {\mathbb R} \Rightarrow |A-A| \le K^2\cdot |B|</math>

Подставив <math>W=-W'</math>, получим

<math>|U|\cdot |V+W'| \le |V-U|\cdot |U+W'|</math>

Подставив <math>U=-U'</math>, получим

<math>|U'|\cdot |V-W| \le |V+U'|\cdot |U'+W|</math>.

См. также

• Неравенство Плюннеке — Ружа