Русская Википедия:Неравенство четырёхугольника

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Неравенство четырёхугольника — неравенство, выполняющееся для любых четырёх точек метрического пространства, в котором справедливо неравенство треугольника. Его геометрический смысл заключается в том, что разность двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.

Формулировка

Обозначим <math>\rho(x, y)</math> расстояние между точками метрического пространства <math>x</math> и <math>y</math>. Тогда для любых четырёх точек метрического пространства <math>x, y, z, u</math> имеет место следующее неравенство: <math>\left | \rho(x, z) - \rho(y, u) \right | \leqslant \rho(x, y) + \rho(z, u)</math>.

Доказательство

Рассмотрим неравенства, следующие из неравенства треугольника:

<math>\rho(x, z) \leqslant \rho(x, y) + \rho(y, u) + \rho(u, z)</math>

<math>\rho(y, u) \leqslant \rho(y, x) + \rho(x, z) + \rho(z, u)</math>

Вычтем из обеих частей первого неравенства <math>\rho(y, u)</math> и из обеих частей второго неравенства <math>\rho(x, z)</math>.

Второе неравенство треугольника

При <math>z = u</math> неравенство четырёхугольника обращается во второе неравенство треугольника: <math>\left | \rho(x, z) - \rho(y, z) \right | \leqslant \rho(x, y)</math>

Неравенства четырёхугольника в планиметрии

• Неравенство четырёхугольника — модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон: <math>\left | a - b \right | \leq c+d</math>.
• Эквивалентно: в любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть: <math>a \leq b+c+d</math>; <math>b \leq +c+d</math>; <math>c \leq a+b+d</math>; <math>d \leq a+b+c</math>.

См. также

Неравенство треугольника