Русская Википедия:Несократимая дробь
В математике несократимая (приведённая) дробь — обыкновенная дробь вида <math>\pm \frac{m}{n}</math>, которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно простыШаблон:Sfn, то есть не имеют общих делителей, кроме <math>\pm 1</math>. Например, дробь <math>\frac{121}{90}</math> несократима, а <math>\frac{120}{90}</math> можно сократить: <math> \frac{120}{90}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.</math>
Обыкновенные дроби
Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида <math>\frac m n,</math> где <math>m</math> — целое число, а <math>n</math> — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю <math>n</math> быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:
- <math>-\frac{4}{5} = \frac{-4}{5} = \frac{4}{-5}</math>
Для приведения обыкновенной дроби <math>\pm \frac m n</math> к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делительШаблон:Sfn НОД<math>(m,n).</math> Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.
Для целого числа Шаблон:Mvar представлением в виде несократимой дроби является
- <math>n = \frac n 1\ </math>
Вариации и обобщения
Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.
Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида <math>a+bi,</math> где <math>a,b</math> — целые числа. Делителей единицы четыре: <math>1; -1; i; -i.</math> Это кольцо факториально, и теория дробей для него строится аналогично целым числам, Например, несложно проверить[1], что дробь <math>\frac{4+2i}{4+7i}</math> может быть сокращена до (уже несократимой) <math>\frac{2}{3+2i}.</math>
Многочлены с коэффициентами из некоторого кольца также образуют факториальное кольцо — кольцо многочленов. рациональные функции, то есть дроби, в числителях и знаменателях которых стоят многочлены. Делителями единицы здесь будут ненулевые числа (как многочлены нулевой степени). Неоднозначность представления можно устранить, потребовав, чтобы многочлен в знаменателе был приведённым.
Однако над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное, с точностью до делителей единицы, представление в виде несократимой дроби, поскольку основная теорема арифметики справедлива не во всяком кольце[2]. Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида <math> a = m + i n \sqrt{5} </math>, где <math> m</math>, <math>n</math> — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида, поэтому они образуют кольцо. Однако оно не является факториальным, и представление дробей в несократимом виде неоднозначно, например:
- <math>\frac{6}{3(1+i\sqrt{5})} = \frac{2}{1+i\sqrt{5}} = \frac{1 - i\sqrt{5}} {3}</math>
У второй и третьей дробей и числитель, и знаменатель — простые числа для указанного кольца, поэтому обе дроби несократимы.
Примечания
Литература
Ссылки
