Русская Википедия:Нечёткое множество

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нечёткое множество (иногда размытое, туманное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Шаблон:Iw, в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале <math>[0, 1]</math>, а не только значения <math>0</math> или <math>1</math>. Является базовым понятием нечёткой логики.

Устаревшее название: расплывчатое множество.

Определение

Под нечётким множеством <math>A</math> понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов <math>x</math> универсального множества <math>X</math> и соответствующих степеней принадлежности <math>\mu_A(x)</math>:

<math>A = \{(x, \mu_A(x)) \mid x \in X\}</math>,

причём <math>\mu_A(x)</math> — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент <math>x</math> принадлежит нечёткому множеству <math>A</math>. Функция <math>\mu_A(x) \ </math> принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве <math>M</math>. Множество <math>M</math> называют множеством принадлежностей, часто в качестве <math>M</math> выбирается отрезок <math>[0, 1]</math>. Если <math>M = \{0, 1\} \ </math> (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определения

Пусть <math>A</math> нечёткое множество с элементами из универсального множества <math>X \ </math> и множеством принадлежностей <math>M = [0, 1]</math>. Тогда:

• носителем (суппортом) нечёткого множества <math>\operatorname{supp} A</math> называется множество <math>\{x \mid x \in X, \mu_A(x) > 0 \}</math>;
• величина <math>\sup_{x \in X} \mu_A(x) </math> называется высотой нечёткого множества <math>A \ </math>. Нечёткое множество <math>A \ </math> нормально, если его высота равна <math>1 \ </math>. Если высота строго меньше <math>1 \ </math>, нечёткое множество называется субнормальным;
• нечёткое множество пусто, если <math>\forall x \in X :\mu_A(x) = 0</math>. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле

  <math>\mu'_A(x) = \frac{\mu_A(x)}{\sup \mu_A(x)}</math>;

• нечёткое множество унимодально, если <math>\mu_A(x) = 1 \ </math> только на одном <math>x \ </math> из <math>X \ </math>;
• элементы <math>x \in X</math>, для которых <math>\mu_A(x) = 0{,}5</math>, называются точками перехода нечёткого множества <math>A \ </math>.

Сравнение нечётких множеств

Пусть <math>A</math> и <math>B</math> нечёткие множества, заданные на универсальном множестве <math>X</math>.

• <math>A</math> содержится в <math>B</math>, если для любого элемента из <math>X</math> функция его принадлежности множеству <math>A</math> будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству <math>B</math>:

  <math>A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in X : \mu_A(x) \leqslant \mu_B(x)</math>.

• В случае, если условие <math>\mu_A(x) \leqslant \mu_B(x)</math> выполняется не для всех <math>x \in X </math>, говорят о степени включения нечёткого множества <math>A</math> в <math>B</math>, которое определяется так:

  <math>l\left(A \subset B \right) = \min_{x \in T} \mu_ B(x)</math>, где <math>T = \{x \in X;\mu_A(x) \leqslant \mu_B(x), \mu_A(x)>0 \}</math>.

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

  <math>A = B \Leftrightarrow \forall x \in X : \mu_A(x) = \mu_B(x)</math>.

• В случае, если значения функций принадлежности <math>\mu_A(x)</math> и <math>\mu_B(x)</math> почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math>, например, в виде

  <math>E(A = B) = 1 - \max_{x \in T}|\mu_A(x) - \mu_B(x)|</math>, где <math>T = \{x \in X;\mu_A(x) \neq \mu_B(x)\}</math>.

Свойства нечётких множеств

<math>\alpha</math>-срезом нечёткого множества <math>A\subseteq X</math>, обозначаемым как <math>A_\alpha</math>, называется следующее чёткое множество:

<math>A_\alpha= \{x \in X \mid \mu_A(x)\geqslant \alpha\}</math>,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

<math>\chi_{A_\alpha}(x) =

\left\{\begin{matrix} 0, & \mu_A(x) < \alpha, \\ 1, &\mu_A(x) \geqslant \alpha. \end{matrix}\right.</math> Для <math>\alpha</math>-среза нечёткого множества истинна импликация:

<math>\alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow A_{\alpha_1} \supset A_{\alpha_2}</math>.

Нечёткое множество <math>A \subseteq \mathbf{R}</math> является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

<math>\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \geqslant \langle\mu_A(x_1)\land \mu_A(x_2) = \min\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle</math>

для любых <math>x_1,x_2 \in \mathbf{R}</math> и <math>\gamma \in [0, 1]</math>.

Нечёткое множество <math>A \subseteq \mathbf{R}</math> является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

<math>\mu_A[\gamma x_1 +(1 - \gamma)x_2] \leqslant \langle\mu_A(x_1)\lor \mu_A(x_2) = \max\{\mu_A(x_1), \mu_A(x_2)\}\rangle</math>

для любых <math>x_1,x_2 \in \mathbf{R}</math> и <math>\gamma \in [0, 1]</math>.

Операции над нечёткими множествами

При множестве принадлежностей <math>M = [0, 1] \ </math>

• Пересечением нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности <math>A</math> и <math>B</math>:

  <math>\mu_{A\cap B}(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>.

• Произведением нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  <math>\mu_{AB}(x) = \mu_A(x) \mu_B(x)</math>.

• Объединением нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности <math>A</math> и <math>B</math>:

  <math>\mu_{A\cup B}(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>.

• Суммой нечётких множеств <math>A</math> и <math>B</math> называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  <math>\mu_{A+B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x)\ - \mu_A(x) \mu_B(x)</math>.

• Отрицанием множества <math>A \ </math> называется множество <math>\overline A</math> с функцией принадлежности:

  <math>\mu_{\overline A}(x) = 1 - \mu_A(x)</math> для каждого <math>x \in X</math>.

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

<math>\mu_{A\cap B}(x) = T(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>,

где функция <math>T</math> — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• <math>\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\land \mu_B(x) = \min(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>
• <math>\mu_{A\cap B}(x) = \mu_A(x)\mu_B(x)</math>
• <math>\mu_{A\cap B}(x) = \max\{0, \mu_A(x)+\mu_B(x)- 1 \}</math>
• <math>\mu_{A\cap B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=1

\\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=1 \\ 0, & \mu_A(x)<1,\mu_B(x)<1,

\end{matrix}\right.</math>

• <math>\mu_{A\cap B}(x) = 1 - \min\{1,[(1 - \mu_A(x))^p + (1 - \mu_B(x))^p]^{1\over p}\}</math>, для <math>p \geqslant 1</math>

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

<math>\mu_{A\cup B}(x) = S(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>,

где функция <math>S</math> — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• <math>\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x)\lor \mu_B(x) = \max(\mu_A(x), \mu_B(x))</math>
• <math>\mu_{A\cup B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)\mu_B(x)</math>
• <math>\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1, \mu_A(x)+\mu_B(x)\}</math>
• <math>\mu_{A\cup B}(x) = \left\{\begin{matrix} \mu_A(x), & \mu_B(x)=0

\\ \mu_B(x), & \mu_A(x)=0 \\ 1, & \mu_A(x)>0,\mu_B(x)>0

\end{matrix}\right.</math>

• <math>\mu_{A\cup B}(x) = \min\{1,[\mu_A^p(x)+\mu_B^p(x)]^{1\over p}\}</math>, для <math>p \geqslant 1</math>

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности <math>\mu_A(x) \ </math> можно рассматривать как вероятность накрытия элемента <math>x \ </math> некоторым случайным множеством <math>B \ </math>.

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

Примеры

Пусть:

• множество <math>X = \{x_1, x_2, x_3, x_4\}</math>
• множество принадлежностей <math>M = [0, 1]</math>
• <math>A</math> и <math>B</math> — два нечётких подмножества <math>X</math>
  • <math>A = \{ (x_1 \mid 0{,}4), (x_2 \mid 0{,}6), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 1) \}</math>
  • <math>B = \{ (x_1 \mid 0{,}3), (x_2 \mid 0), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 0{,}2) \}</math>

Результаты основных операций:

• пересечение: <math>{A\cap B} = \{ (x_1 \mid 0{,}3), (x_2 \mid 0), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 0{,}2) \} = {B}</math>
• объединение: <math>{A\cup B} = \{ (x_1 \mid 0{,}4), (x_2 \mid 0{,}6), (x_3 \mid 0), (x_4 \mid 1) \} = {A}</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. — М.: Знание, 1980. — 64 с.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Орлов А. И., Луценко Е. В. Системная нечеткая интервальная математика. — Монография (научное издание). — Краснодар, КубГАУ. 2014. — 600 с.[1]