Русская Википедия:Нильпотентный идеал
Нильпотентный идеал — идеал <math>I</math> кольца <math>R</math>, для которого существует натуральное число <math>k</math>, такое, что <math>I^k = 0</math>Шаблон:Sfn (<math>I^k</math> — аддитивная подгруппа, порождённая множеством всех произведений из <math>k</math> элементов идеала <math>I</math>, то есть идеал нильпотентен тогда и только тогда, когда существует натуральное число <math>k</math>, такое, что произведение любых <math>k</math> элементов идеала <math>I</math> равно 0. Наибольший интерес понятие нильпотентного идеала представляет для случая Шаблон:Не переведено 5.
В кольце <math>\Z_{p^n}</math> вычетов по модулю <math>p^n</math>, где <math>p</math> — некоторое простое число, все идеалы, отличные от самого кольца, нильпотентны. В кольце верхнетреугольных матриц над некоторым полем матрицы, у которых на главной диагонали стоят нули, образуют нильпотентный идеал.
Любой элемент нильпотентного идеала нильпотентен. В коммутативном кольце любой нильпотентный элемент содержится в некотором нильпотентном идеале, например, в главном идеале, порожденном этим элементом. В некоммутативном кольце могут существовать нильпотентные элементы, не содержащиеся ни в одном нильпотентном идеале (и даже ниль-идеале).
В конечномерной алгебре Ли <math>g</math> существует максимальный нильпотентный идеал, состоящий из элементов <math>x\in g</math>, для которых эндоморфизм <math>y\to[x,y]</math> для <math>y\in g</math> нильпотентен.
Связь с ниль-идеалами
Всякий нильпотентный идеал является Шаблон:Не переведено 5, обратное в общем случае неверно, однако в некоторых классах эти понятия совпадают. Ниль-идеал не обязательно нильпотентен по нескольким причинам: во-первых, может не быть глобальной верхней границы экспоненты для обнуления различных элементов ниль-идеала, а во-вторых, каждый элемент, будучи нильпотентным, не обязательно даст нулевое произведение при умножении различных элементовШаблон:Sfn.
В правом артиновом кольце любой ниль-идеал является нильпотентнымШаблон:Sfn. Это подтверждается следующим наблюдением: любой ниль-идеал содержится в радикале Джекобсона кольца, а из факта, что радикал Джекобсона является нильпотентным идеалом (вследствие гипотезы Артина), следует требуемое утверждение. Фактически это утверждение можно обобщить до правых нётеровых колец, этот результат известен как теорема ЛевицкогоШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1978.
