Русская Википедия:Нормаль

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Норма́ль в геометрии — обобщение понятия перпендикуляра к прямой или плоскости на произвольные гладкие кривые и поверхности.

Файл:Frenet.png

В точке кривой построены векторы касательной (T), главной нормали (N) и бинормали (B). Показана также соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.

Нормаль к кривой в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной прямой в указанной точке кривой. Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную нормаль, расположенную в той же плоскости. Пространственная кривая в каждой своей точке имеет бесконечное множество нормалей, формирующих так называемую нормальную плоскость. Две из этих нормалей выделяются особо: нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормальюШаблон:Sfn.

Нормаль к поверхности в заданной её точке — прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в указанной точке поверхности. Нормаль для гладкой поверхности определяется однозначно.

Понятие нормали может быть легко распространено на многомерные многообразия. Кроме геометрии, нормали широко используются в геометрической оптике, механике, при создании трёхмерной компьютерной графики, в теории потенциала и в других естественных науках.

Вектор нормали

Файл:Normal vectors on a curved surface.svg

Векторы нормали в точках поверхности

Вектор нормали (или орт нормали) к поверхности в данной точке — единичный вектор, приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Аналогично определяются векторы нормали к пространственной кривой в данной точке; среди них, соответственно сказанному выше, выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали и вектор бинормали.

Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным полем векторов нормали. В противном случае поверхность называют односторонней или неориентируемой. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали.

Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.

Нормаль к пространственной кривой

Пусть <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math> — векторное уравнение кривой. Тогда направление главной нормали может быть получено как двойное векторное произведение: <math>[[\mathbf{r}', \ \mathbf{r}], \ \mathbf{r}'].</math> В случае естественной параметризации кривой (её длиной дуги) орт главной нормалиШаблон:Sfn равен <math>\mathbf{r}</math>.

Векторное уравнение бинормали в точке <math>t=t_0</math> имеет вид:

<math>\boldsymbol{r}(\lambda)=\boldsymbol{r}(t_0)+\lambda [\boldsymbol{r}'(t_0),~\boldsymbol{r}(t_0)].</math>

Уравнение нормальной плоскостиШаблон:Sfn в точке <math>\boldsymbol{r}(t_0) =\{x_0,y_0,z_0\}</math>:

<math>x'_0(x-x_0) + y'_0(y-y_0) + z'_0(z-z_0) = 0</math>

Нормаль к плоской кривой

Для плоской кривой содержащая её плоскость совпадает с соприкасающейся. Нормаль, с точностью до знака, только одна — главная, и её уравнение в точке <math>(x_0,\ y_0)</math> имеет следующий вид.

Способ задания плоской кривой	Уравнение кривой	Уравнение нормали
Параметрическое задание	<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)</math>	<math>y = y_0 - \frac{x_0'}{y_0'} (x-x_0)</math>
Явное задание	<math>y=f(x)</math>	<math>y = y_0 - \frac{x-x_0}{y_0'}</math>
Неявное задание	<math>F(x,y)=0</math>	<math>y = y_0 + \frac{(F_y')_0}{(F_x')_0} (x-x_0)</math>

Нормаль к поверхности

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности (см. статью Поверхность). Примером точки поверхности, где нормаль не определена, является вершина конуса — в ней не существует касательной плоскости.

Координаты орта нормали для разных способов задания поверхности приведены в таблице:

	Координаты нормали в точке поверхности
параметрическое задание: <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)</math>	<math>\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2}}</math>
неявное задание: <math>F(x,y,z)=0</math>	<math>\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}</math>
явное задание: <math>z=f(x,y)</math>	<math>\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}}</math>

Здесь <math>\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}</math>. Все производные берутся в точке <math>(x_0,y_0,z_0)</math>. Из формул видно, что в случае неявного задания направление нормали к функции <math>F(x,y,z)</math> совпадает с направлением её градиента.

Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности (с точностью до знака).

Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол <math>\theta</math>. Тогда кривизна <math>k</math> кривой связана с кривизной <math>k_n</math> нормального сечения (с той же касательной) формулой МёньеШаблон:Sfn:

<math>k_n = \pm k\,\cos\,\theta</math>

Кривизна <math>k_n</math> нормального сечения в заданной точке зависит от направления этого сечения; если кривизна не постоянна, то максимум и минимум достигаются в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называемых главными направлениями. На сфере, на торцах эллипсоида Шаблон:Итп кривизна постоянна, и все направления — главныеШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:БРЭ

Внешние ссылки