Русская Википедия:Нормальная высота
Нормальная высота — один из возможных способов определения высоты от уровня моря. Величина, численно равная отношению геопотенциальной величины в данной точке к среднему значению нормальной силы тяжести Земли по отрезку, отложенному от поверхности земного эллипсоида[1].
Иначе, значение, которое можно охарактеризовать как: перемещение единичной массы в поле силы тяжести <math>g</math> из некоторой точки <math>U_0</math> с потенциалом <math>W_0</math> в точку <math>U</math> с потенциалом <math>W</math>, деленное на среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке <math>U_0</math> до <math>U </math>. В отличие от ортометрической высоты при вычислении нормальной высоты нет необходимости иметь информацию о внутреннем строении Земли, так как вычисление нормальной высоты происходит не в реальном, а в нормальном поле[2].
Общая информация
История введения термина
Впервые нормальные высоты введены[3] М. С. Молоденским, тогда они ещё не имели названия и были обозначены через <math>q</math>[4]. В работе того же Молоденского, нормальные высоты были названы вспомогательными[5]. Свое современное название эти высоты, по предложению Молоденского, получили в работе В.Ф. Ермеева[6]
М. С. Молоденский отметил, что определение малой разности между реальным и нормальным гравитационным полем Земли (аномальное поле) имеет строгое решение, если в возникающих уравнениях ввести «вспомогательные» высоты <math>H^\gamma </math> под условием:
<math>W(H) - W_0(H=\zeta_0) = U(H=H^\gamma) - U_0(H=0)</math>
В. Ф. Еремеев отметил, что «вспомогательные» высоты ближе к суммам нивелирных превышений, чем ортометрические высоты, и по предложению самого Молоденского был введён термин «нормальная высота»[7].
Связь с Балтийской системой высот
При измерении нивелирных превышений и вычислении геопотенциальных чисел в разных странах используют различные исходные пункты. Каждая изолированная нивелирная сеть, развитая от какого-либо футштока, определяет разности потенциалов точек этой сети относительно уровненной поверхности <math>W = W_0</math>, проходящей через исходный пункт данной сети. Поскольку уровень моря в разных районах различен, исходные пункты связаны с разными уровенными поверхностями, и по измерениям в изолированных сетях нельзя получить геопотенциальные числа для всей Земли в единой системе. Чтобы подчеркнуть это, говорят, что на данной территории развита система высот от определённого футштока. Так, в СССР была создана Балтийская система высот, в которой исходным пунктом служит Кронштадский футшток. Здесь термин «система» имеет смысл, как система, которая устанавливает некоторую уровенную поверхность, относительно который вычисляют разности потенциалов[8].
Использование в других странах
Система нормальных высот принята в России, странах СНГ и некоторых европейских странах, Швеция, Германия, Франция и др.).
В Австрии, Боснии и Герцеговине, Норвегии, Югославии приняты нормально-ортометрические высоты[8].
Особенности использования термина
В случаях, когда высоты определены с не очень высокой точностью, все высоты, кроме геодезической, называют высотами над уровнем моря, или абсолютными высотами, а разность высот — относительными высотами. Это аналогично названию координат приближенно все координаты (астрономические, геодезические, геоцентрические) называют географическими[8].
Способы определения
Основные сведения
Натуральная система координат связана с силовыми линиями и уровенными поверхностями реального поля Земли. Система координат в нормальном поле связана с нормальной силовой линией и нормальной уровенной поверхностью, проходящими через данных пункт. Так как нормальное поле не совпадает с действительными, координаты в нормально поле отличаются от натуральных[9].
Связь с геопотенциальным числом
Установим связь нормального геопотенциального числа <math>U_0 - U_p</math> с действительным <math>W_0 - W_p</math>. Для потенциала в точке <math>P</math>
<math>W_p = W_0 -(W_0 - W_p)</math>;
<math>U_p = U_0 -(U_0 - U_p)</math>
образуем разность <math>W_p - U_p</math>. Учитывая что эта разность равна аномальному потенциалу <math>T_p</math> получим
<math>(U_0 - U_p) = (W_0 - W_p) + T_p - (W_0 - U_0)</math>
Действительное и нормальное геопотенциальное число различается на величину аномального потенциала в точке <math>P</math> и разность <math>W_0 - U_0</math> потенциалов на геоиде и уровенном эллипсоиде.
Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным и потенциал <math>W_0</math> на геоиде был равен потенциалу <math>U_0</math> на уровенном эллипсоиде, нормальное и действительное геопотенциальное число точки <math>P</math> тоже совпали бы. Однако на силовой линии <math>P_1P</math> нормального поля, проходящей через точку <math>P</math>, всегда найдется такая точка <math>P^\gamma</math> в которой нормальное геопотенциальное число тождественно равно действительному
<math id="1">U_0 - U_{p^\gamma} \equiv W_0 - W_p</math>
Причем поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка <math>P^\gamma</math> будет не далеко расположена от точки <math>P</math>[9].
Отличие от высоты в нормальном поле
Высота в нормальном поле определена как отрезок <math>PP_1</math>нормальной силовой линии от эллипсоида до любой точки <math>P</math>. Она отличается от геодезической высоты только из-за кривизны нормальной силовой линии, но это отличие практически не ощутимо. Высота в нормальном поле — это расстояние, измеряемое вдоль силовой линии нормального поля от эллипсоида до любой точки <math>P</math>, а нормальная высота — расстояние вдоль нормальной силовой линии от той же точки <math>P_1</math> эллипсоида, но не до точки <math>P</math>, а до точки <math>P^\gamma</math>, в который выполняется тождество выше[9].
Связь с аномалией высоты
Отрезок <math>P^\gamma{P} = \zeta</math> появляется из-за несовпадения действительного и нормального поля является элементом аномального поля. Его называют аномалией высоты.
Аномалию высоты получают как расстояние между уровенными поверхностями проходящими через точки <math>P</math> и <math>P^\gamma</math>. Согласно формуле <math>dU = -\gamma{dH_H}</math>, полагая <math>dU = U_p - U_{p\gamma}</math> и <math>dH_H = \zeta</math>, находим
<math>\zeta = {U{p\gamma} - U_p \over \gamma}</math>
где <math>\gamma</math> — среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке <math>\zeta</math>[9]
Связь с геодезической высотой
Высота <math>H_H = P_1{P}</math> равна сумме нормальной высоты и аномалии высоты
<math>H_H = H^\gamma + \zeta</math>
Так как высота в нормальном поле практически совпадает с геодезической, это выражение справедливо и для связи геодезической и нормальной высот
<math>H = H^\gamma + \zeta</math>
Основная формула
Перенесём измеренную разность потенциалов в нормальное поле:
<math>W_A - W_0 = -\int\limits_{(W_0)}^{(W)}gdh = U' - U_0 = -\int\limits_{(U_0)}^{(U')}\gamma dh = -\gamma^mH^\gamma</math>
где точка с нормальным потенциалом <math>U'</math>не совпадает с точкой H на земной поверхности, а лежит с ней практически на одной нормали к эллипсоиду (см. рис. 1), <math>\gamma^m</math> — среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке от <math>U_0</math> до <math>U'</math>:
<math>\gamma^m = {1 \over H^\gamma}\int\limits_{(U_0)}^{(U')} \gamma dH</math>
что можно вычислить с любой степенью точности, в отличие от грубо известного <math>g^m</math>, где <math>g^m</math> — среднее интегральное значение силы тяжести на отрезке силовой линии. Из условия выше имеем:
Шаблон:Рамка<math>{\displaystyle H^{\gamma }={1 \over \gamma ^{m}}\int \limits _{(W_{0})}^{(W)}gdh=-{W-W_{0} \over \gamma ^{m}}} </math> — нормальная высота точки земной поверхности. Шаблон:Конец рамки
В простейшем случае <math>\gamma^m</math> можно определить по нормальному градиенту как <math>\gamma</math> на половине <math>H^\gamma </math>, то есть[2]:
<math>\gamma_0 - {\partial \gamma \over \partial H} {H^\gamma \over 2}</math>
Примечания
- ↑ ГОСТ 22268-76: Геодезия. Термины и определения. Термин № 29
- ↑ 2,0 2,1 Попадьёв В. В. Основы геодезической гравиметрии и теоретической геодезии (курс лекций). — М.: МИИГАиК, 2018, 160 с., с.110-114
- ↑ Молоденский М. С. Основные вопросы геодезической гравиметрии. Тр. ЦНИИГАиК, 1945, вып. 42, 107 стр.
- ↑ Eремеев В. Ф.‚ Юркина М. И. Теория высот в гравитационном поле Земли. М., «Недра», 1971, с. 33 сноска
- ↑ Молоденский М. С. Внешнее гравитационное поле и фигура физической поверхности Земли. Изв. АН СССР, серия географ. и геофиз. 1948, 12, N9 3, 193—211.
- ↑ Еремеев В. Ф. Теория ортометрических, динамических и нормальных высот. Тр. ЦНИИГАиК, 1951, вып. 86, 11-51.
- ↑ Гравитационное поле, фигура и внутреннее строение Земли. — М.: Наука, 2001. — 569 с.; ил. (Серия «Избранные труды»). ISBN 5-02-002331-0
- ↑ 8,0 8,1 8,2 Шаблон:Книга
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 Шаблон:Книга
