Русская Википедия:Нормальная модальная логика

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Нормальная модальная логика — множество формул L, содержащее[1]:

  • Все пропозициональные тавтологии;
  • <math>\Box(A\to B)\to(\Box A\to\Box B)</math>;
  • <math>\diamondsuit A = \neg \Box \neg A</math>.

и замкнутое относительно правил:

  • modus ponens: <math> A\to B, A \in L</math> следует из правила <math> B \in L</math>;
  • подстановки;
  • обобщения: <math> A \in L</math> следует из правила <math>\Box A \in L</math>.Шаблон:Уточнить

Наиболее компактную логику, удовлетворяющую указанным условиям, называют K. Большинство широко используемых в настоящее время модальных логик (имеющих значение для философии), например, S4 и S5 — К. И. Льюиса (C. I. Lewis), являются нормальными (и, следовательно, являются расширениями K). Однако ряд деонтических и эпистемических логик, например, являются ненормальными, часто потому, что в них отсутствует схема Крипке.

Каждая нормальная модальная логика является регулярной и, следовательно, классической.

Общие нормальные модальные логики

В следующей таблице перечислены несколько наиболее распространённых нормальных модальных систем. Условные обозначения относятся к таблице семантика Крипке § Общие схемы модальных аксиом. Условия фреймов для некоторых систем были упрощены: логики являются обоснованными и полными, относительно классов фреймов, указанных в таблице, но также могут соответствовать и более обширному классу фреймов.

Имя Аксиомы Состояние фрейма
K все фреймы
T T возвратный
K4 4 переходный
S4 T, 4 предпорядок
S5 T, 5 или D, B, 4 отношение эквивалентности
S4.3 T, 4, H общий предпорядок (total preorder)
S4.1 T, 4, М предпорядок,<math>\forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land\forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))</math>
S4.2 T, 4, G направленный предпорядок
GL, K4W GL или 4, GL конечный строгий частичный порядок
Grz, S4Grz Grz или T, 4, Grz конечный частичный порядок
D D серийный (serial)
D45 D, 4, 5 транзитивный, последовательный и евклидовый

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  • Kripke, S. A. Semantical Analysis of Modal Logic I. Normal Modal Propositional Calculi // Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1963. V. 9 N. 5–6. P. 67–96.
  • Шаблон:Cite book

Шаблон:Rq