Русская Википедия:Нормальная форма Смита

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нормальная форма Смита — это диагональная (не обязательно квадратная) матрица над областью главных идеалов, каждый следующий диагональный элемент которой делится на предыдущий. Любую матрицу над областью главных идеалов можно привести к нормальной форме Смита путём умножения слева и справа на обратимые матрицыШаблон:Sfn.

Формулировка

Для любой матрицы <math>A</math> размера <math>m \times n</math> над областью главных идеалов <math>R</math> существуют такие обратимые над <math>R</math> матрицы <math>B</math> и <math>C</math>, что <math>BAC=\mathrm{diag}(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{p}, 0, \ldots, 0)</math>, где <math>g_{i+1}</math> делится на <math>g_{i}</math>. Здесь <math>\mathrm{diag}(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{p}, 0, \ldots, 0)</math> обозначает матрицу размера <math>m\times n</math> с указанными диагональными элементами и нулями на остальных позициях.

Применения

Из теоремы о нормальной форме Смита следует известная теорема о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. В частности, если <math>R</math> — кольцо целых чисел, то из нормальной формы Смита получается теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп, а если <math>R=F[t]</math> — кольцо многочленов над алгебраически замкнутым полем <math>F</math>, то из нее можно вывести теорему о жордановой форме линейного оператора.

См. также

• Эрмитова нормальная форма

Литература

• Шаблон:Книга