Русская Википедия:Нормальная форма Чибрарио
Нормальная форма Чибрарио — нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь итальянского математика Марии Чибрарио, установившей эту нормальную форму для одного класса уравнений[1][2][3].
Связанные определения
Особые точки
Пусть дифференциальное уравнение имеет вид
<math>F(x,y,p) = 0, \ </math> где <math> p=\frac{dy}{dx}.</math>
Функция <math>F</math> предполагается вещественной, гладкой класса <math>C^{\infty}</math> (или аналитической) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами <math>(x,y,p)</math>, лежащие на поверхности, задаваемой уравнением <math>F=0</math>, в которых производная <math>F_p</math> обращается в нуль, т. е. проектирование <math>\pi</math> поверхности <math>\{F=0\}</math> на плоскость переменных <math>x,y</math> вдоль направления оси <math>p</math> нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности <math>\{F=0\}</math> кривую, называемую криминантой. Проекция криминанты на плоскость <math>(x,y)</math> называется дискриминантной кривой, её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании <math>\pi</math> различным точками поверхности <math>\{F=0\}</math> может соответствовать одна и та же точка плоскости переменных <math>(x,y)</math>[1][4][5].
Поднятие уравнения
Дифференциальное соотношение <math>p=dy/dx</math> задает в пространстве <math>(x,y,p)</math> поле контактных плоскостей <math>pdx-dy=0</math>. Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности <math>\{F=0\}</math>, задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости не совпадают друг с другом). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость <math>(x,y)</math> — графиками решений[4][5]
Описанная конструкция исследования уравнений, не разрешённых относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885); в современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность[3].
Теорема о нормальной форме
Простейшими особыми точками уравнения <math>F(x,y,p)=0</math> являются так называемые регулярные особые точки, в которых проектирование <math>\pi</math> имеет особенность, называемую складкой Уитни, и контактная плоскость не касается поверхности <math>F=0.</math> Это равносильно выполнению в данной точке условий:
- <math>
F=0, \quad F_p=0, \quad F_{pp} \neq 0, \quad F_x + pF_y \neq 0. </math>
Шаблон:Рамка Теорема. В окрестности регулярной особой точки уравнение <math>F(x,y,p)=0</math> с гладкой (или аналитической) функцией <math>F</math> гладко (соответственно, аналитически) эквивалентно уравнению
- <math> p^2-x = 0, </math>
называемому нормальной формой Чибрарио[1][4][5]. Шаблон:Конец рамки
В 1932 году Чибрарио получила эту нормальную форму, исследуя характеристики уравнения с частными производными второго порядка смешанного типа[2].
Примеры
Нормальная форма Чибрарио является характеристическим уравнением для уравнения Трикоми
<math>u_{xx}-x u_{yy} = 0</math>,
относящегося к эллиптическому типу в полуплоскости <math>x<0</math> и к гиперболическому — в полуплоскости <math>x>0</math>.
Уравнение <math>p^2-x=0</math> легко интегрируется: графики его решений образуют семейство полукубических парабол[4][5]
<math> y= \pm \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \rm const, </math>
заполняющих полуплоскость <math>x>0</math>, точки возврата которых лежат на дискриминантной кривой — оси <math>y</math>.
Аналогичным образом выглядят асимптотические линии двумерной поверхности в евклидовом пространстве в окрестности типичной параболической точки. Нормальная форма Чибрарио соответствует также простейшим особенностям поля медленного движения в быстро-медленных динамических системах[6].
Литература
- Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
- Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
- Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
- Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
- Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889–906.
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1. — гл. 1, пар. 7.
- ↑ 2,0 2,1 Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.
- ↑ 3,0 3,1 Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, ― СМФН, 19 (2006), 131–170.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — гл. 1, пар. 4.
- ↑ 5,0 5,1 5,2 5,3 Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — гл. 1, пар. 4.
- ↑ Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5
