Русская Википедия:Нормальное расширение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля <math>K \subset E</math> для которого каждый неприводимый многочлен <math>f(x)</math> над <math>K</math>, имеющий хотя бы один корень в <math>E</math>, разлагается в <math>E</math> на линейные множители.

Равносильное определение: Если <math>K \subset E \subset K^*</math>, где <math>K^*</math> — алгебраическое замыкание поля <math>K</math>, то <math>E</math> нормально, если любой гомоморфизм <math>\sigma</math> поля <math>E</math> в алгебраическое замыкание <math>K^*</math> над <math>K</math> является автоморфизмом поля <math>E</math>.

Нормальное расширение как поле разложения

Всякое расширение <math>K \subset E</math> является нормальным тогда и только тогда, когда <math>E</math> является полем разложения некоторого множества многочленов из <math>K[x]</math>.

Нормальные расширения в соответствии Галуа

Если <math>F</math> — расширение Галуа поля <math>K</math>, а <math>E</math> — какое-нибудь промежуточное подполе <math>K \subset E \subset F</math>, то группа Галуа <math>\operatorname{Gal}(F/E)</math> по определению состоит из всех автоморфизмов <math>F</math>, оставляющих элементы <math>E</math> неподвижными. Если <math>\sigma</math> — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа <math>\operatorname{Gal}(F/K)</math>, отображающий <math>E</math> на <math>\sigma(E)</math> то, очевидно, что

<math>\operatorname{Gal}(F/\sigma E) = \sigma \operatorname{Gal}(F/E) \sigma^{-1}</math>

Поэтому расширение <math>E</math> нормально тогда и только тогда, когда подгруппа <math>\operatorname{Gal}(F/E)</math> является нормальной подгруппой в <math>\operatorname{Gal}(F/K)</math> (отсюда и терминология).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1967.