Русская Википедия:Нормальное число
Норма́льное число́ по основанию Шаблон:Math (<math>n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2</math>) — всякое действительное число, в записи которого в [[Позиционная система счисления|Шаблон:Math-ричной системе счисления]] произвольная группа из Шаблон:Math последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной Шаблон:Math для каждого Шаблон:Math = 1, 2, ….
Числа, нормальные при записи их по любому основанию Шаблон:Math, называются нормальными, или абсолютно нормальными.
Основные свойства и примеры
Любое рациональное число в записи по любому основанию ненормально. Это следует из того факта, что в записи рационального числа существует период. Например, 1/3 = 0,33333… не имеет в записи наперёд заданной последовательности цифр и потому не является нормальным. Отсюда следует, что нормальными числами могут являться только иррациональные числа.
Так как в записи нормального числа содержится любая наперёд заданная последовательность цифр, из этого следует, что начиная с некоторой цифровой позиции в записи любого нормального числа закодированы все созданные и пока не созданные литературные произведения, изображения, кинофильмы и др. Например, в десятичной записи числа <math>\pi</math> последовательность 0123456789 впервые начинается с Шаблон:Число-го знака после запятой. До сих пор (на 2021 год) неизвестно, является ли число <math>\pi</math> нормальным[1].
История
Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.
Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10[2]. В то же время неизвестно, нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2[3].
В 2002 году Бехер и Фигейра[4] доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.
Открытые задачи
- Являются ли числа [[Пи (число)|Шаблон:Math]] и [[e (число)|Шаблон:Math]] нормальными?
- С одной стороны, неизвестно, верно ли, что любое иррациональное алгебраическое число нормально; с другой стороны, не известен ни один пример иррационального алгебраического числа, про которое доказано, что оно ненормально.
См. также
Примечания
Ссылки
- ↑ Наварро, Хоакин Секреты числа пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга. — М.: Де Агостини, 2014. — 143 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 7). — ISBN 978-5-9774-0629-1.
- ↑ D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Citation
