Русская Википедия:Нормальные координаты

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общо, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения.

В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются; это часто упрощает вычисления.

Построение

Пусть <math>M</math> есть гладкое многообразие с аффинной связностью и <math>\exp_p\colon T_p\to M</math> есть соответствующее экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки <math>x=\exp_pv</math> считаются равными координатам вектора <math>v</math> в касательном пространстве <math>T_p</math>.

Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.

Замечания

• Нормальные координаты определены в пределах радиуса инъективности базовой точки <math>p</math>.

Свойства

• Символы Кристоффеля обнуляются вбазовой точек нормальных координат.

• Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.

• Компоненты тензора кривизны однозначно определяет многочлен Тейлора степени два метрического тензора, записанного в нормальных координатах. А именно:

<math>g_{ij}(x) =\delta_{ij}-\tfrac13\cdot R_{iklj}\cdot x^k\cdot x^l+o(|x|^2).</math>

Вариации и обобщения

• Нормальные координаты естественно обобщаются на финслеровые многообразия. Поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле, нормальные координаты финслерова многообразия также не гладки в нуле.