Русская Википедия:Нормальный оператор
Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: <math>N^* N = N N^*</math>. Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: <math>A = A^*</math> и унитарные операторы: <math> U^{-1} = U^*</math>. Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.
Разложения
- Аддитивное разложение. <math>N = X + i Y</math>, где <math>X, Y</math> — перестановочные самосопряжённые операторы,
- <math> X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*).</math>
- Мультипликативное (полярное) разложение. <math> N = R U = U R </math>, где <math>R = \sqrt{N^* N}</math> — положительный самосопряжённый оператор, <math>U</math> — унитарный оператор. Операторы <math>R</math> и <math>U</math> перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором, перестановочным одновременно с <math>N</math> и <math>N^*</math>.
Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа <math>z</math> через его действительную и мнимую части: <math>z = x + i y</math>, а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: <math> z = r e^{i \varphi}.</math>Шаблон:Sfn
Свойства
- Если оператор <math>N</math> нормален, то операторы <math>N^*</math>, <math>\alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C}</math>, а также обратный оператор <math>N^{-1}</math> (если он существует), тоже нормальны.Шаблон:Sfn
- Линейный непрерывный оператор <math>N</math> в гильбертовом пространстве <math>H</math> нормален тогда и только тогда, когда <math> \| N x \| = \| N^* x\|</math> для каждого <math>x \in H</math>.
- <math> \mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp}</math>. Здесь <math>\mbox{Ker}\, N</math> — ядро, <math>\mbox{Im}\, N</math> — образ оператора <math>N</math>.
- Если <math>N x = \alpha x</math> при некотором <math> x \in H</math> и <math> \alpha \in \mathbb{C}</math>, то <math> N^* x = \bar \alpha x</math>.
- Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональныШаблон:Sfn.
- Теорема о перестановочности. Пусть <math> M, N, T</math> — линейные непрерывные операторы, причем операторы <math>M</math> и <math>N</math> нормальны. Если <math> M T = T N</math>, то <math> M^* T = T N^*</math>. В частности, если оператор <math>T</math> перестановочен с нормальным оператором <math>N</math>, то он перестановочен и с сопряжённым <math>N^*</math>.Шаблон:Sfn
- <math>\| N \| = \sup \{ |(Nx,x)| \colon x \in H, \, \| x \| \le 1 \} </math> Шаблон:Sfn
- Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.Шаблон:Sfn
- Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если <math>M = T N T^{-1}</math>, где <math>M, N</math> — нормальные операторы, а оператор <math>T</math> обратим, то <math>M = U N U^{-1}</math>, где <math>U</math> — унитарный оператор.Шаблон:Sfn
- <math>\| N^m\| = \| N \|^m</math>, следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.Шаблон:Sfn
Спектральная теорема
Шаблон:Рамка Любому нормальному оператору <math>N</math> соответствует семейство проекционных операторов <math>\{ E(\delta) \}</math>, являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что
- <math> N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy),</math>
и вообще
- <math> q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy), </math>
где <math>q(z, \bar z)</math> — произвольный многочлен от <math> z = x + i y</math> и <math> \bar z = x - i y </math>; при любом фиксированном прямоугольнике <math>\delta</math> оператор <math>E(\delta)</math> является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов <math>N</math> и <math>N^*</math>Шаблон:Sfn. Шаблон:Конец рамки
На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций
- <math> f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy). </math>Шаблон:Sfn
Случай конечномерного пространства
В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.
- Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов.
- Для нормального оператора <math>N</math> каждый из операторов <math>N</math> и <math>N^*</math> представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора <math>N</math>.
- Если <math>S</math> — инвариантное подпространство относительно оператора <math>N</math>, то его ортогональное дополнение <math>S^{\perp}</math> тоже является инвариантным подпространством для <math>N</math>.
- Матрица <math>N</math> является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице, то есть <math>N = U D U^{-1},</math> где <math>U</math> — унитарная матрица, <math>D</math> — диагональная матрица.Шаблон:Sfn
Неограниченные операторы
Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор <math>N</math> (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве <math>H</math> называется нормальным, если его область определения <math>D(N)</math> плотна в <math>H</math>, он замкнут и удовлетворяет условию <math> N^* N = N N^*</math>. Для нормального оператора <math>D(N^*) = D(N)</math>, <math>\| N x \| = \| N^* x\|</math> для любого <math> x \in D(N)</math>. Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.Шаблон:Sfn
См. также
Примечания
Литература
