Русская Википедия:Норма (математика)
Шаблон:Другие значения Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Определение
Норма вектора
Шаблон:Main Норма в векторном пространстве <math>V\ </math> над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал <math>p\colon V \to \mathbb{R_{+}}</math>, обладающий следующими свойствами:
- <math>p(x)=0 \Rightarrow x=0_V;</math>
- <math>\forall x,y \in V, p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)</math> (неравенство треугольника);
- <math>\forall \alpha \in \Complex, \forall x \in V, p(\alpha\, x)=|\alpha|p(x).</math>
Эти условия являются аксиомами нормы.
Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.
Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:
<math>\forall x \in V, p(x)\geqslant 0</math>.
Действительно, из третьего свойства следует: <math>p(0_V)=p(0\cdot0_V)=0\cdot p(0_V)=0</math>, а из свойства 2 — <math>\forall x\in V\colon 0=p(0_V)=p(x-x)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)</math>.
Чаще всего норму обозначают в виде: <math>\| \cdot \|</math>. В частности, <math>\| x\| </math> — это норма элемента <math>x</math> векторного пространства <math>\R</math>.
Вектор с единичной нормой <math>\left(\| x\|=1\right) </math> называется единичным или нормированным.
Любой ненулевой вектор <math>x</math> можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор <math>\frac{x}{\|x\|}</math> имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.
Норма матрицы
Шаблон:Main Нормой матрицы <math>A</math> называется вещественное число <math>\|A\|</math>, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:
- <math>\|A\| \geqslant 0</math>, причём <math>\|A\| = 0</math> только при <math>A = 0\ </math>;
- <math>\|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|</math>, где <math>\alpha\in\R</math>;
- <math>\|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|</math>;
- <math>\|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|</math>.
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.
Матричная норма <math>\| \cdot \|_{ab}</math> из <math>K^{m \times n}</math> называется согласованной с векторной нормой <math>\| \cdot \|_{a}</math> из <math>K^n</math> и векторной нормой <math>\| \cdot \|_{b}</math> из <math>K^m</math> если справедливо:
- <math>
\|Ax\|_b \leqslant \|A\|_{ab} \|x\|_a </math> для всех <math>A \in K^{m \times n}, x \in K^n</math>.
Норма оператора
Шаблон:Main Норма оператора <math>A</math> — число, которое определяется так:
- <math>\|A\| = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|</math>,
- где <math>A</math> — оператор, действующий из нормированного пространства <math>L</math> в нормированное пространство <math>K</math>.
Это определение эквивалентно следующему:
- <math>\|A\| = \sup_{x\ne 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}</math>
- Свойства операторных норм:
- <math>\|A\| \geqslant 0</math>, причём <math>\|A\| = 0</math> только при <math>A = 0</math>;
- <math>\|\alpha A\| = |\alpha| \cdot \|A\|</math>, где <math>\alpha\in\mathbb{R}</math>;
- <math>\|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|</math>;
- <math>\|AB\| \leqslant \|A\| \cdot \|B\|</math>.
В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.
Свойства нормы
- <math> \| x \| - \| y \| \ \leqslant \| x \pm y \| \leqslant \| x\| + \| y \| </math>
- <math> {\bigl(\| x \| - \| y \|\bigr)}^2 \leqslant {\| x \pm y \|}^2 \leqslant {\bigr(\| x \| + \|y \|\bigl)}^2 </math>
- <math> \frac {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2}{2\|x\|\|y\|}\in [-1,1] </math> [косинус угла]
- <math> \|0_V\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot\|x\|=0 </math>
- <math> 0=\|x-x\|\leqslant\|x\|+\|-x\|=2\|x\| \Rightarrow \|x\|\geqslant0</math>
Эквивалентность норм
- Две нормы <math>p</math> и <math>q</math> на пространстве <math>V</math> называются эквивалентными, если существует две положительные константы <math>C_1</math> и <math>C_2</math> такие, что для любого <math>x \in V</math> выполняется <math>C_1 p(x) \leqslant q(x) \leqslant C_2 p(x)</math>. Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны[1].
Примеры
Линейные нормированные пространства
- Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму
- <math>\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle},\quad x \in X.</math>
- Гёльдеровы нормы <math>n</math>-мерных векторов (семейство): <math>\|x\|_p = {\left(\sum_{i} |x_i|^p\right)}^{\frac 1p}</math>,
где <math>p \geqslant 1 </math> (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:
- <math>\|x\|_1 = \sum_{i} |x_{i}|</math>, что также имеет название метрика L1, норма <math>\ell_1</math> или манхэттенское расстояние. Для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.
- <math>\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i} |x_{i}|^2}</math>, что также имеет название метрика L2, норма <math>\ell_2</math> или евклидова норма. Является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.
- <math>\|x\|_\infty = \max |x_{i}|</math> (это предельный случай <math>p \rightarrow \infty</math>).
- Нормы функций в <math>C[0,1]</math> — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
- <math>\|f\|_{C[0,1]} = \sup_{x \in [0,1]}|f(x)|</math> — в смысле этой нормы пространство <math>C[0,1]</math> непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
- <math>\|f\|_{1}=\int\limits_0^1 |f(t)|\,dt</math>
- <math>\|f\|_{2}=\sqrt{\int\limits_0^1 |f(t)|^2\,dt}</math>
- Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив <math>|f(x)|\ </math> на <math>\|f(x)\|\ </math>, а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).
«L0 норма»
Особым случаем является <math>\ell_0</math> (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей <math>\ell_0</math>-нормой. С помощью этой «нормы» может быть определенно расстояние Хэмминга.
Некоторые виды матричных норм
- Порожденные нормы <math>\|A\|_{p} = \sup_{\|x\|_{p}=1} \|Ax\|_{p}</math>:
- <math>p=1</math>: <math>m</math>-норма, <math>\|A\|_m = \max_j \sum_i |a_{ij}|</math>
- <math>p=2</math> (евклидова норма) и <math>m=n</math> (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы <math>A</math> равна наибольшему сингулярному числу матрицы <math>A</math> или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы <math>A^\dagger A</math>: <math>\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^\dagger A)}</math>, где <math>A^\dagger</math> обозначает матрицу, сопряжённую к матрице <math>A</math>.
- <math>p=\infty</math>: <math>l</math>-норма <math>\|A\|_l = \max_i \sum_j |a_{ij}|</math>
- Здесь <math>A^\dagger</math> — сопряжённая к <math>A</math> матрица, <math>\mathrm{Tr}</math> — след матрицы.
- Поэлементная <math>p</math>-норма (<math>p>0</math>): <math>\|A\|_p = \left( \sum_{i, j} |a_{ij}|^p \right)^{\frac 1p}</math>
- Норма Фробениуса: <math>\|A\|_F = \|A\|_2 = \sqrt{\sum_{i, j} |a_{ij}|^2} = \sqrt{\mathrm{Tr}\, A^\dagger A}</math>.
Связанные понятия
Топология пространства и норма
Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида <math>B(x,r)=\{y\colon\|x-y\|<r\}</math>. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.
См. также
Примечания
