Русская Википедия:Норма (теория полей)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Значения Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение поля K степени n, <math>\alpha</math> — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование <math>x\mapsto \alpha x</math>. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается <math>N_K^E(\alpha)</math> или просто <math>N(\alpha)</math>, если понятно, о каком расширении идет речь.

Свойства

  • <math>N(\alpha)=0</math> тогда и только тогда, когда <math>\alpha =0</math>.
  • <math>N_K^E(\alpha)=\alpha^{[E:K]}</math> для любого <math>\alpha \in K</math>
  • <math>N(\alpha\beta)=N(\alpha)\cdot N(\beta)</math>
  • Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений <math>K \subset E \subset F </math> имеем <math>N_K^E(N_E^F(\alpha))=N_K^F(\alpha)</math>
  • Если E = K(α) — простое алгебраическое расширение и Шаблон:Math — минимальный многочлен α, то <math>N_K^E(\alpha)=(-1)^n a_0</math>

Выражение нормы через автоморфизмы E над K

Пусть σ1, σ2 … σm — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — расширение Галуа, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение:

<math>N_K^E(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\ldots \sigma_m(\alpha)</math>

Если E несепарабельно, то m≠n, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда <math>N_K^E(\alpha)=(\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\ldots \sigma_m(\alpha))^{n/m}.</math>

Пример

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе <math>(1,i)</math> умножению на <math>a+bi</math> соответствует матрица

<math>\begin{pmatrix}a & -b \\b & a \end{pmatrix} </math>

Определитель этой матрицы равен <math>a^2+b^2</math>, то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как <math>|z|^2=z\bar z,</math> и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел.

См. также

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Норма_(теория_полей)&oldid=10488185