Русская Википедия:Нормирование (алгебра)
- REDIRECT Абсолютное значение
Шаблон:Не путать Норми́рование — отображение элементов поля <math>F</math> или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле <math>P</math> <math>x\mapsto \|x\|</math>, обладающее следующими свойствами:
- 1) <math>\|x\| \geqslant 0 </math> и <math>\|x\| = 0 </math> только при <math> x = 0</math>
- 2) <math>\|xy\| = \|x\| \cdot \|y\| </math>
- 3) <math> \|x+y\| \leqslant \|x\|+\|y\| </math>
Если вместо 3) выполняется более сильное условие:
- 3a) <math> \|x+y\| \leqslant \max(\|x\|,\|y\|) </math>, то нормирование называется неархимедовым.
Значение <math>\|x\|</math> называется нормой элемента <math>x</math>. Если упорядоченное поле <math>P</math> является полем вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, то нормирование часто называют абсолютным значением.
Нормы <math>\|\cdot\|_1</math> и <math>\|\cdot\|_2</math> называются эквивалентными, если <math>\|x\|_1 < 1</math> равносильно <math>\|x\|_2 < 1</math>.
Примеры нормирований
- Нормирование, при котором <math>\|0\|=0</math>, <math>\|x\|=1</math> для остальных <math>x</math>. Такое нормирование называется тривиальным.
- Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> и модуль в поле комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> являются нормированием.
- Пусть <math>\mathbb{Q}</math> — поле рациональных чисел, а <math>p</math> — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби <math>x=p^n\frac{a}{b}</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> не кратны <math>p</math>. Можно определить следующее нормирование <math>|x|_p=p^{-n}</math>. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.
Согласно Шаблон:Iw, любая нетривиальная норма на <math>\mathbb{Q}</math> эквивалентна либо абсолютной величине <math>|x|</math>, либо р-адическому нормированию.
Свойства нормы
- <math> |1| = |-\!1| = 1 </math>
- Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство <math> \Bigl| |x|-|y| \Bigr| \leqslant |x-y| </math> (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
- Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число <math>A</math>, такое, что для любой суммы единичных элементов поля <math>F</math>:
- 3b) <math> \| 1+1+...+1 \| \leqslant A </math>
Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов <math>x</math> и <math>y</math> из поля <math>F</math> имеем:
<math> |(x+y)^n|=|x^n+ \ldots +C_n^i\,x^{n-i}\,y^i+ \ldots +y^n| \leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^n </math>
Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при <math>n \to \infty</math>, получаем условие 3a).Шаблон:Нет АИ Обратное утверждение очевидно.Шаблон:Нет АИ
Нормированное поле как метрическое пространство
Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля <math>F</math> как норму разности <math> \|x-y\| </math>, мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в <math>F</math>.
Пополнение
Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле <math>F</math> изоморфно вкладывается в полное нормированное поле <math>F^*</math>, то есть существует изоморфизм <math>i:F \rightarrow F^*</math>. Норма в <math>F^*</math> продолжает норму в <math>F</math>, то есть для каждого <math>x</math> из <math>F</math>: <math>\|i(x)\|_{F^*}=\|x\|</math>, причём <math>F</math> плотно в <math>F^*</math> относительно этой нормы. Любое такое поле <math>F^*</math> определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на <math>F</math>; оно называется пополнением поля <math>F</math>.
Пример. Пополнением поля рациональных чисел <math> \mathbb{Q} </math> с p-адической метрикой является поле p-адических чисел <math> \mathbb{Q}_p </math>.
Экспоненциальное нормирование
Пусть <math>v</math> — отображение из мультипликативной группы поля <math>K^*</math> в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что
- 1) <math>v(xy)=v(x)+v(y)</math>
- 2) <math>v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))</math>
Удобно также доопределить эту функцию в нуле: <math>v(0)=\infty</math>. Групповая операция на <math>\infty</math> определена следующим образом: <math>a+\infty=\infty+a=\infty</math> для любого <math>a</math>, <math>\infty</math> упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.
В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд[1] и Ленг.[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения <math>v</math> называют группой нормирования, а множество тех элементов <math>x</math> поля <math>K</math>, для которых <math>v(x)\geqslant 0</math> — кольцом нормирования (обозначение — <math>R_v</math>), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.
Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.
Примечания
Литература
