Русская Википедия:Нотация Конвея для многогранников
Нотация Конвея для многогранников, разработанная Конвеем и продвигаемая Шаблон:Не переведено 5, используется для описания многогранников, опираясь на затравочный (т.е. используемый для создания других) многогранник, модифицируемый различными префикс-операциями.
Конвей и Харт расширили идею использования операторов, подобных оператору truncation (усечения), определённого Кеплером, чтобы создавать связанные многогранники с той же симметрией. Базовые операторы могут сгенерировать все архимедовы тела и каталановы тела из правильных затравок. Например, tC представляет усечённый куб, а taC, полученный как t(aC), является усечённым октаэдром. Простейший оператор dual (двойственный) меняет местами вершины и грани. Так, двойственным многогранником для куба является октаэдр — dC=O. Применённые последовательно, эти операторы позволяют сгенерировать многие многогранники высокого порядка. Получающиеся многогранники будут иметь фиксированную топологию (вершины, рёбра, грани), в то время как точная геометрия не ограничивается.
Затравочные многогранники, являющиеся правильными многогранниками, представляются первой буквой в их (английском) названии (Tetrahedron = тетраэдр, Octahedron = октаэдр, Cube = куб, Icosahedron = икосаэдр, Dodecahedron = додекаэдр). Кроме того, используются призмы (Pn – от prism для n-угольных призм), антипризмы (An – от Antiprisms), купола (Un – от cupolae), антикупола (Vn) и пирамиды (Yn – от pyramid). Любой многогранник может выступать в качестве затравки, если операции могут на них быть выполнены. Например, правильногранные многогранники можно обозначить как Jn (от Johnson solids = тела Джонсона) для n=1…92.
В общем случае трудно предсказать результат последовательного применения двух и более операций на заданный многогранник-затравку. Например, операция ambo, применённая дважды, оказывается той же самой, что и операция expand (расширения), aa=e, в то время как операция truncation (усечение) после операции ambo даёт то же, что и операция bevel, ta=b. Не существует общей теории, описывающей, какие многогранники могут быть получены с помощью некоторого набора операторов. Наоборот, все результаты были получены эмпирически.
Операции на многогранниках
Элементы таблицы даны для затравки с параметрами (v,e,f) (вершин, рёбер, граней), преобразуемой в новые виды в предположении, что затравка является выпуклым многогранником (топологической сферой с эйлеровой характеристикой 2). Пример, базирующийся на затравке в виде куба, дан для каждого оператора. Базовые операции достаточны для генерации зеркально симметричных однородных многогранников и их двойственных. Некоторые базовые операции можно выразить через композицию других операций.
Специальные виды
- Операция «kis» имеет вариант kn, в этом случае добавляются только пирамиды к граням с n-сторонами.
- Операция усечения имеет вариант tn, в этом случае усекаются только вершины порядка n.
Операторы применяются подобно функциям справа налево. Например, кубооктаэдр является ambo кубом (кубом, к которому применена операция ambo), то есть t(C) = aC, а усечённый кубооктаэдр равен t(a(C)) = t(aC) = taC.
Оператор хиральности
- r – «отражение» («reflect») – делает зеркальное отражение затравки. Оператор не меняет затравку, если к ней не были применены операторы s или g. Другой записью хиральной формы служит надчёркивание, например, Шаблон:Overline = rs.
Операции в таблице показаны на примере куба и нарисованы на поверхности куба. Синие грани пересекают исходные рёбра, розовые грани соответствуют исходным вершинам.
| Оператор | Пример | Название | Альтернативное построение |
вершины | рёбра | грани | Описание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Файл:Conway C.png | Затравка | v | e | f | Исходный многогранник | ||
| r | reflect | v | e | f | Зеркальный образ для хиральных форм | ||
| d | Файл:Conway dC.png | dual | f | e | v | Двойственный многогранник для затравки – каждая вершина создаёт новую грань | |
| a | Файл:Conway aC.png | ambo | dj djd |
e | 2e | f+v | Новые вершины добавляются в середине рёбер, а старые вершины отрезаются (rectify) Операция создаёт вершины с валентностью 4. |
| j | Файл:Conway jC.png | join | da dad |
v+f | 2e | e | К затравке добавляются пирамиды с достаточной высотой, так что два треугольника, принадлежащие разным пирамидам и имеющие общую сторону затравки, становятся копланарными (лежащими на одной плоскости) и образуют новую грань. Операция создаёт квадратные грани. |
| k kn |
Файл:Conway kC.png | kis | nd = dz dtd |
v+f | 3e | 2e | На каждой грани добавляется пирамида. Акизация или кумуляция,[1] увеличение или пирамидальное расширение. |
| t tn |
Файл:Conway tC.png | truncate | nd = dz dkd |
2e | 3e | v+f | Отсекает все вершины. Операция является сопряжённой с kis |
| n | Файл:Conway kdC.png | needle | kd = dt dzd |
v+f | 3e | 2e | Двойственный многогранник к усечённой затравке. Грани триангулируются с двумя треугольниками для каждого ребра. Это делит пополам грани через все вершины и рёбра, удаляя при этом исходные рёбра. Операция преобразует Шаблон:Не переведено 5 (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Она также преобразует (a,0) в (a,a), (a,a) в (3a,0), (2,1) в (4,1), и т.д. |
| z | Файл:Conway dkC.png | zip | dk = td dnd |
2e | 3e | v+f | Двойственный многогранник к затравке после операции kis или усечение двойственного многогранника. Операция создаёт новые рёбра, перпендикулярные исходным рёбрам. Операция также называется bitruncation (Шаблон:Не переведено 5). Эта операция преобразует Шаблон:Не переведено 5 G(a,b) в G(a+2b,a-b) для a>b. Она также преобразует G(a,0) в G(a,a), G(a,a) в G(3a,0), G(2,1) в G(4,1) и т.д. |
| e | Файл:Conway eC.png | expand (растяжение) |
aa dod = do |
2e | 4e | v+e+f | Каждая вершина создаёт новую грань, а каждое ребро создаёт новый четырёхугольник. (cantellate = скашивание) |
| o | Файл:Conway oC.png | ortho | daa ded = de |
v+e+f | 4e | 2e | Каждая n-угольная грань делится на n четырёхугольников. |
| g rg=Шаблон:Overline |
Файл:Conway gC.png | gyro | dsd = ds | v+2e+f | 5e | 2e | Каждая n-угольная грань делится на n пятиугольников. |
| s rs=Шаблон:Overline |
Файл:Conway sC.png | snub | dgd = dg | 2e | 5e | v+2e+f | «расширение и кручение» – каждая вершина образует новую грань, а каждое ребро образует два новых треугольника |
| b | Файл:Conway bC.png | bevel | dkda = ta dmd = dm |
4e | 6e | v+e+f | Новые грани добавляются вместо рёбер и вершин. (cantitruncation = Шаблон:Не переведено 5) |
| m | Файл:Conway mC.png | meta medial |
kda = kj dbd = db |
v+e+f | 6e | 4e | Триангуляция с добавлением вершин в центрах граней и рёбер. |
Образование правильных затравок
Все пять правильных многогранников могут быть получены из призматических генераторов, используя от нуля до двух операторов:
- Треугольная пирамида: Y3 (Тетраэдр является частным случаем пирамид)
- Треугольная антипризма: A3 (Октаэдр является частным случаем антипризм)
- O = A3
- C = dA3
- Квадратная призма: P4 (Куб является частным случаем призмы)
- C = P4
- Пятиугольная антипризма: A5
- I = k5A5 (Частный случай Шаблон:Не переведено 5)
- D = t5dA5 (Частный случай Шаблон:Не переведено 5)
Правильная евклидова мозаика может также быть использована в качестве затравки:
- Q = Quadrille (четырёхугольная мозаика) = квадратная мозаика
- H = Hextille = шестиугольная мозаика = dΔ
- Δ = Deltille = треугольная мозаика = dH
Примеры
Куб может образовать все выпуклые однородные многогранники с октаэдральной симметрией. В первой строке показаны архимедовы тела, а во второй — каталановы тела. Вторая строка образуется как двойственные многогранники к многогранникам первой строки. Если сравнивать каждый новый многогранник с кубом, можно понять визуально проведённые операции.
Усечённый икосаэдр, tI или zD, являющийся Шаблон:Не переведено 5 G(2,0), создаёт дополнительные многогранники, которые ни вершинно-, ни гранетранзитивны.
Геометрические координаты производных форм
В общем случае затравка может считаться замощением поверхности. Поскольку операторы представляют топологические операции, то точные положения вершин производных форм в общем случае не определены. Выпуклые правильные многогранники в качестве затравки могут рассматриваться как замощения сферы, а потому производные многогранники можно рассматривать как расположенные на сфере. Подобно правильным мозаикам на плоскости, таким как шестиугольный паркет, эти многогранники на сфере могут выступать в качестве затравки для производных мозаик. Невыпуклые многогранники могут стать затравками, если связанные топологические поверхности определяются для ограничения положения вершин. Например, тороидальные многогранники могут произвести другие многогранники с точками на той же торической поверхности.
Производные операции
Смешение двух и более базовых операций приводит к широкому разнообразию форм. Имеется много других производных операций. Например, смешение двух ambo, kis или expand операций вместе с операциями dual. Использование альтернативных операторов наподобие join, truncate, ortho, bevel и medial может упростить имена и удалить операторы dual. Общее число рёбер производных операций можно вычислить через мультипликаторы каждого отдельного оператора.
| Оператор(ы) | d | a j |
k, t n, z |
e o |
g s |
a&k | a&e | k&k | k&e k&a2 |
e&e |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| рёберный мультипликатор | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 12 | 16 |
| Уникальных производных операторов | 8 | 2 | 8 | 10 | 2 | |||||
Операции в таблице показаны для куба (в качестве примера затравки) и нарисованы на поверхности куба. Голубые грани пересекают исходные рёбра, а розовые грани соответствуют исходным вершинам.
| Оператор | Пример | Название | Альтернативное построение |
вершины | рёбра | грани | Описание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Файл:Conway C.png | Затравка | v | e | f | Исходный многогранник | ||
| at | Файл:Conway atC.png | akd |
3e | 6e | v+2e+f | Операция ambo после truncate | |
| jk | Файл:Conway quadstar.png | dak | v+2e+f | 6e | 3e | Операция join после kis. Подобна ortho, за исключением того, что новые квадратные грани вставляются на место исходных рёбер | |
| ak | Файл:Conway quadstar-dual.png | dajd | 3e | 6e | v+2e+f | Операция ambo после kis. Подобна expand, за исключением того, что новые вершины добавляются на исходные рёбра, образуя два треугольника. | |
| jt | Файл:Conway datC.png | dakd = dat | v+2e+f | 6e | 3e | Операция join после truncate. Двойственный многогранник к полученному после операций truncate, затем ambo | |
| tj | Файл:Conway dkaC.png | dka | 4e | 6e | v+e+f | truncate join | |
| ka | Файл:Conway kaC.png | v+e+f | 6e | 4e | kis ambo | ||
| ea or ae | Файл:Conway aaaC.png | aaa | 4e | 8e | v+3e+f | расширенная операция ambo, тройная операция ambo | |
| oa or je | Файл:Conway daaaC.png | daaa = jjj | v+3e+f | 8e | 4e | Операция ortho после ambo, тройная операция join | |
| x=kt | Файл:Conway ktC.png | exalt | kdkd dtkd |
v+e+f | 9e | 7e | Операции kis truncate, триангуляция, деление рёбер на 3 части и добавление новых вершин в центр исходных граней. Операция преобразует Шаблон:Не переведено 5 (a,b) в (3a,3b). |
| y=tk | Файл:Conway tkC.png | yank | dkdk dktd |
v+e+f | 9e | 7e | Операции truncate kis, расширение шестиугольниками вокруг каждого ребра Операция преобразует Шаблон:Не переведено 5 G(a,b) в G(3a,3b). |
| nk | Файл:Conway dtkC.png | kdk = dtk = ktd | 7e | 9e | v+e+f | needled kis | |
| tn | Файл:Conway dktC.png | dkdkd = dkt = tkd | 7e | 9e | v+e+f | truncate needle | |
| tt | Файл:Conway ttC.png | dkkd | 7e | 9e | v+e+f | двойная операция truncate | |
| kk | Файл:Conway kkC.png | dttd | v+2e+f | 9e | 6e | двойная операция kis | |
| nt | Файл:Conway dttC.png | kkd = dtt | v+e+f | 9e | 7e | needle truncate | |
| tz | Файл:Conway dkkC.png | dkk = ttd | 6e | 9e | v+2e+f | truncate zip | |
| ke | Файл:Conway keC.png | kaa | v+3e+f | 12e | 8e | Kis expand | |
| to | Файл:Conway dkeC.png | dkaa | 8e | 12e | v+3e+f | truncate ortho | |
| ek | Файл:Conway ekC.png | aak | 6e | 12e | v+5e+f | expand kis | |
| ok | Файл:Conway dekC.png | daak = dek | v+5e+f | 12e | 6e | ortho kis | |
| et | Файл:Conway etC.png | aadkd | 6e | 12e | v+5e+f | расширенная операция truncate | |
| ot | Файл:Conway otC.png | daadkd = det | v+5e+f | 12e | 6e | ortho truncate | |
| te or ba | Файл:Conway teC.png | dkdaa | 8e | 12e | v+3e+f | truncate expand | |
| ko or ma | Файл:Conway koC.png | kdaa = dte ma = mj |
v+3e+f | 12e | 8e | kis ortho | |
| ab or am | Файл:Conway amC.png | aka = ata | 6e | 12e | v+5e+f | ambo bevel | |
| jb or jm | Файл:Conway jmC.png | daka = data | v+5e+f | 12e | 6e | joined bevel | |
| ee | Файл:Conway eeC.png | aaaa | v+7e+f | 16e | 8e | double-expand | |
| oo | Файл:Conway deeC.png | daaaa = dee | 8e | 16e | v+7e+f | double-ortho |
Хиральные производные операции
Имеются другие производные операции, если используется gyro с операциями ambo, kis или expand и до трёх операций dual.
| Оператор(ы) | d | a | k | e | g | a&g | k&g | e&g | g&g |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| мультипликатор рёбер | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| Уникальных производных операторов | 4 | 8 | 4 | 2 | |||||
| Оператор | Пример | Название | Построение | вершин | рёбер | граней | Описание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Файл:Conway C.png | Затравка | v | e | f | Исходный многогранник | ||
| ag | Файл:Conway agC.png | as djsd = djs |
v+4e+f | 10e | 5e | ambo gyro | |
| jg | Файл:Conway dagC.png | dag = js dasd = das |
5e | 10e | v+4e+f | joined gyro | |
| ga | Файл:Conway gaC.png | gj dsjd = dsj |
v+5e+f | 10e | 4e | gyro ambo | |
| sa | Файл:Conway dgaC.png | dga = sj dgjd = dgj |
4e | 10e | v+5e+f | snub ambo | |
| kg | Файл:Conway kgC.png | dtsd = dts | v+4e+f | 15e | 10e | kis gyro | |
| ts | dkgd = dkg | 10e | 15e | v+4e+f | truncated snub | ||
| gk | dstd | v+8e+f | 15e | 6e | gyro kis | ||
| st | dgkd | 6e | 15e | v+8e+f | snub truncation | ||
| sk | dgtd | v+8e+f | 15e | 6e | snub kis | ||
| gt | dskd | 6e | 15e | v+8e+f | gyro truncation | ||
| ks | Файл:Conway ksC.png | kdg dtgd = dtg |
v+4e+f | 15e | 10e | kis snub | |
| tg | dkdg dksd |
10e | 15e | v+4e+f | truncated gyro | ||
| eg | es aag |
v+9e+f | 20e | 10e | expanded gyro | ||
| og | os daagd = daag |
10e | 20e | v+9e+f | expanded snub | ||
| ge | go gaa |
v+11e+f | 20e | 8e | gyro expand | ||
| se | so dgaad = dgaa |
8e | 20e | v+11e+f | snub expand | ||
| gg | Файл:Conway ggC.png | gs dssd = dss |
v+14e+f | 25e | 10e | double-gyro | |
| ss | sg dggd = dgg |
10e | 25e | v+14e+f | double-snub |
Расширенные операторы
Эти расширенные операторы нельзя создать в общем виде с помощью выше перечисленных базовых операций. Некоторые операторы могут быть созданы как частные случаи с k и t операторами, но применённые к определённым граням и вершинам. Например, куб со снятой фаской, cC, может быть построен как t4daC, как ромбододекаэдр, daC или jC с усечёнными вершинами валентности 4. Поднятый куб lC — это то же самое, что t4kC, квинтододекаэдр qD можно построить как t5daaD, t5deD или t5oD, a дельтоидальный гексеконтаэдр можно построить как deD или oD с усечением вершин с валентностью 5.
Некоторые расширенные операторы образуют последовательность и даны с последующим числом. Например, ortho делит квадратную грань на 4 квадрата, а o3 может делить на 9 квадратов. o3 является уникальным построением, в то время как o4 можно получить как oo, оператор ortho, применённый дважды. Оператор loft может включать индекс подобно оператору kis, чтобы ограничить применение на грани с указанным числом сторон.
Операция chamfer (снятие фаски) создаёт Шаблон:Не переведено 5 G(2,0) с новыми шестиугольниками между исходными гранями. Последовательные операции chamfer создают G(2n,0).
| Оператор | Пример | Название | Альтернативное построение |
вершин | рёбер | граней | Описание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Файл:Conway C.png | Затравка | v | e | f | Исходный многогранник | ||
| c (от chamfer) | Файл:Conway cC.png | chamfer | dud | v + 2e | 4e | f + e | Усечение рёбер. Вместо рёбер вставляются новые шестиугольные грани. Шаблон:Не переведено 5 (0,2) |
| - | Файл:Conway dcC.png | - | dc | f + e | 4e | v + 2e | Операция dual после chamfer |
| u | Файл:Conway uC.png | subdivide | dcd | v+e | 4e | f+2e | Операция ambo, пока сохраняются исходные вершины Операция аналогична Шаблон:Не переведено 5 для треугольных граней |
| - | Файл:Conway duC.png | cd | f+2e | 4e | v+e | Операция dual после subdivide | |
| l ln |
Файл:Conway lC.png | loft | v+2e | 5e | f+2e | Расширение каждой грани призмой, добавление меньшей копии каждой грани с трапециями между внутренней и внешней гранью. | |
| Файл:Conway dlC.png | dl dln |
f+2e | 5e | v+2e | Операция dual после loft | ||
| Файл:Conway ldC.png | ld lnd |
f+2e | 5e | v+2e | Операция loft после dual | ||
| Файл:Conway dldC.png | dld dlnd |
v+2e | 5e | f+2e | Операция, сопряжённая с loft | ||
| Файл:Conway dL0C.png | dL0 | f+3e | 6e | v+2e | Операция dual после joined-lace | ||
| Файл:Conway L0dC.png | L0d | f+2e | 6e | v+3e | Операция joined-lace после dual | ||
| Файл:Conway dL0d.png | dL0d | v+3e | 6e | f+2e | Операция, сопряжённая с joined-lace | ||
| q | Файл:Conway truncorthoC.png | quinto | v+3e | 6e | f+2e | Операция ortho с последующим усечением вершин, находящихся в центре исходных граней. Операция создаёт 2 новых пятиугольника для каждого исходного ребра. | |
| - | Файл:Conway dqC.png | dq | f+2e | 6e | v+3e | Операция dual после quinto | |
| Файл:Conway qdC.png | qd | v+2e | 6e | f+3e | Операция quinto после dual | ||
| - | Файл:Conway dqdC.png | dqd | f+3e | 6e | v+2e | Операция, сопряжённая с quinto | |
| L0 | Файл:Conway L0C.png | joined-lace | v+2e | 6e | f+3e | Аналогична операции lace, но с новыми четырёхугольными гранями на месте исходных рёбер | |
| L Ln |
Файл:Conway LC.png | Lace | v+2e | 7e | f+4e | Расширение каждой грани антипризмой, добавление повёрнутой меньшей копии каждой грани с треугольниками между старой и новой гранями. Индекс может быть добавлен для ограничения операции на грани с указанным числом сторон. | |
| Файл:Conway dLC.png | dL dLn |
f+4e | 7e | v+2e | Оператор dual после laced | ||
| Файл:Conway unknown operator on C.png | Ld Ldn |
f+2e | 7e | v+4e | Оператор lace после dual | ||
| Файл:Conway dLdC.png | dLd dLnd |
v+4e | 7e | f+2e | Последовательность операций dual, lace, dual | ||
| K Kn |
Файл:Conway KC.png | staKe | v+2e+f | 7e | 4e | Подразделение граней с центральными чётырёхугольниками и треугольниками. Может быть добавлен индекс для ограничения операции на грани с определённым числом сторон. | |
| Файл:Conway dKC.png | dK dKn |
4e | 7e | v+2e+f | Операция dual после stake | ||
| Файл:Conway KdC.png | Kd | v+2e+f | 7e | 4e | Операция stake после dual | ||
| Файл:Conway dKdC.png | dKd | 4e | 7e | v+2e+f | Операция, сопряжённая со stake | ||
| M3 | Файл:Conway MC.png | edge-medial-3 | v+2e+f | 7e | 4e | Операция подобна m3, но не добавляются диагональные рёбра | |
| Файл:Conway dMC.png | dM3 | 4e | 7e | v+2e+f | Операция dual после edge-medial-3 | ||
| Файл:Conway MdC.png | M3d | v+2e+f | 7e | 4e | Операция edge-medial-3 после dual | ||
| Файл:Conway dMdC.png | dM3d | 4e | 7e | v+2e+f | Операция, сопряжённая с edge-medial-3 | ||
| M0 | Файл:Conway (kk)0C.png | joined-medial | v+2e+f | 8e | 5e | Операция подобна medial, но с добавлением ромбических граней на месте исходных рёбер. | |
| Файл:Conway d(kk)0C.png | dM0 | v+2e+f | 8e | 5e | Операция dual после joined-medial | ||
| Файл:Conway d(kk)0dC.png | M0d | v+2e+f | 8e | 5e | Операция joined-medial после dual | ||
| Файл:Conway (kk)0dC.png | dM0d | 5e | 8e | v+2e+f | Операция, сопряжённая с joined-medial | ||
| m3 | Файл:Conway m3C.png | medial-3 | v+2e+f | 9e | 7e | Триангуляция с добавлением двух вершин на каждое ребро и одной вершины в центре каждой грани. | |
| b3 | Файл:Conway b3C.png | bevel-3 | dm3 | 7e | 9e | v+2e+f | Операция dual после medial-3 |
| Файл:Conway m3dC.png | m3d | 7e | 9e | v+2e+f | Операция medial-3 после dual | ||
| Файл:Conway dm3dC.png | dm3d | v+2e+f | 9e | 7e | Операция, сопряжённая с medial-3 | ||
| o3 | Файл:Conway o3C.png | ortho-3 | de3 | v+4e | 9e | f+4e | Оператор ortho с делением рёбер на 3 |
| e3 | Файл:Conway e3C.png | expand-3 | do3 | f+4e | 9e | v+4e | Оператор expand с делением рёбер на 3 |
| X | Файл:Conway XC.png | cross | v+f+3e | 10e | 6e | Комбинация операций kis и subdivide. Исходные рёбра делятся пополам и образуются треугольные и четырёхугольные грани. | |
| Файл:Conway dXC.png | dX | 6e | 10e | v+f+3e | Операция dual после cross | ||
| Файл:Conway XdC.png | Xd | 6e | 10e | v+f+3e | Операция cross после dual | ||
| Файл:Conway dXdC.png | dXd | v+f+3e | 10e | 6e | Операция, сопряжённая с cross | ||
| m4 | Файл:Conway m4C.png | medial-4 | v+3e+f | 12e | 8e | Триангуляция с добавлением 3 вершин на каждое ребро и вершины в центр каждой грани. | |
| u5 | Файл:Conway u5C.png | subdivide-5 | v+8e | 25e | f+16e | Рёбра делятся на 5 частей Этот оператор делит рёбра и грани так, что образуется 6 треугольников вокруг каждой новой вершины. |
Расширенные хиральные операторы
Эти операторы нельзя создать в общем виде из перечисленных выше базовых операций. Художник-геометр Шаблон:Не переведено 5 создал операцию, которую он назвал пропеллер.
- p – «propeller» = пропеллер (оператор вращения, создающий четырёхугольники на месте вершин). Эта операция самодвойственна: dpX=pdX.
| Оператор | Пример | Название | Альтернативное построение |
вершины | рёбра | грани | Описание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Файл:Conway C.png | «Затравка» | v | e | f | Исходный многогранник | ||
| p rp=Шаблон:Overline |
Файл:Conway pC.png | propellor | v + 2e | 5e | f + 2e | Операция gyro, после которой выполняется ambo на вершинах в центрах исходных граней | |
| - | Файл:Conway dpC.png | - | dp = pd | f + 2e | 5e | v + 2e | Те же вершины, что и в gyro, но на месте исходных вершин образуются грани |
| - | Файл:Conway bigsnub.png | 4e | 7e | v+2e+f | Операция подобна snub, но по периметру исходных граней идут пятиугольники, а не треугольники | ||
| - | Файл:Conway dual-bigsnub.png | - | - | v+2e+f | 7e | 4e | |
| w=w2=w2,1 rw=Шаблон:Overline |
Файл:Conway wC.png | whirl | v+4e | 7e | f+2e | Операция gyro с последующим усечением вершин в центре исходных граней. Операция создаёт 2 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, Шаблон:Не переведено 5 (2,1) Производный оператор wrw преобразует G(a,b) в G(7a,7b). | |
| v rv=Шаблон:Overline |
Файл:Conway dwC.png | volute | dwd | f+2e | 7e | v+4e | Оператор dual после whirl, или snub с последующей операцией kis на исходных гранях. Полученный оператор vrv преобразует геодезический многогранник (a,b) в (7a,7b). |
| g3 rg3=Шаблон:Overline |
Файл:Conway g5C.png | gyro-3 | v+6e | 11e | f+4e | Операция gyro создаёт 3 пятиугольника вдоль каждого исходного ребра | |
| s3 rs3=Шаблон:Overline |
Файл:Conway s5C.png | snub-3 | dg3d = dg3 | f+4e | 11e | v+6e | Операция dual после gyro-3, операция snub, делящая рёбра на 4 срединных треугольника и с треугольниками на месте исходных вершин |
| w3,1 rw3,1=Шаблон:Overline |
Файл:Conway w3C.png | whirl-3,1 | v+8e | 13e | f+4e | Операция создаёт 4 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, Шаблон:Не переведено 5 (3,1) | |
| w3=w3,2 rw3=Шаблон:Overline |
Файл:Conway w3-2.png | whirl-3,2 | v+12e | 19e | f+6e | Операция создаёт 12 новых шестиугольников для каждого исходного ребра, Шаблон:Не переведено 5 (3,2) |
Операции, сохраняющие исходные рёбра
Эти операции расширения оставляют исходные рёбра и позволяют применять оператор к любому независимому подмножеству граней. Нотация Конвея поддерживает дополнительный индекс для этих операций, указывающий число сторон у вовлечённых в операцию граней.
| Оператор | kis | cup | acup | loft | lace | stake | kis-kis |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пример | kC | UC | VC | lC | LC | KC | kkC |
| Рёбра | 3e | 4e-f4 | 5e-f4 | 5e | 6e | 7e | 9e |
| Изображение на кубе |
Файл:Conway kC.png | Файл:Conway cupola-C.png | Файл:Conway semilace-C.png | Файл:Conway lC.png | Файл:Conway LC.png | Файл:Conway KC.png | Файл:Conway kkC.png |
| Расширение | Пирамида | Купол | Антикупол | Призма | Антипризма |
Операторы Коксетера
Операторы Коксетера/Шаблон:Не переведено 5 иногда полезны при смешении с операторами Конвея. Для ясности в нотации Конвея эти операции даны заглавными буквами. t-Нотация Коксетера определяет активные кружки как индексы диаграммы Коксетера — Дынкина. Таким образом, в таблице заглавная T с индексами 0,1,2 определяет однородные операторы из правильной затравки. Нулевой индекс представляет вершины, 1 представляет рёбра, а 2 представляет грани. При T = T0,1 это будет обычным усечением, а R = T1 является полным усечением, или операцией rectify, то же самое, что и оператор Конвея ambo. Например, r{4,3} или t1{4,3} является именем Коксетера для кубооктаэдра, а полноусечённый куб — это RC, то же самое, что ambo куб Конвея, aC.
| Оператор | Пример | Название | Альтернативное построение |
вершины | рёбра | грани | Описание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T0 | Файл:Conway C.png, t0{4,3} | «Затравка» | v | e | f | Seed form | |
| R = T1 | Файл:Conway aC.png, t1{4,3} | rectify | a | e | 2e | f+v | То же самое, что ambo, новые вершины добавляются в середине рёбер, а новые грани заменяют исходные вершины. Все вершины имеют валентность 4. |
| T2 | Файл:Conway dC.png, t2{4,3} | dual birectify |
d | f | e | v | Операция dual для затравочного многогранника — каждая вершина создаёт новую грань |
| T = T0,1 | Файл:Conway tC.png, t0,1{4,3} | truncate | t | 2e | 3e | v+f | Отсекаются все вершины. |
| T1,2 | Файл:Conway dkC.png, t1,2{4,3} | Шаблон:Не переведено 5 | z = td | 2e | 3e | v+f | То же самое, что и zip |
| RR = T0,2 | Файл:Conway eC.png, t0,2{4,3} | cantellate | aa=e | 2e | 4e | v+e+f | То же самое, что и expand |
| TR = T0,1,2 | Файл:Conway bC.png, t0,1,2{4,3} | Шаблон:Не переведено 5 | ta | 4e | 6e | v+e+f | То же самое, что и bevel |
Полуоператоры
Оператор semi или demi Коксетера, H (от Half), уменьшает число сторон каждой грани вдвое, а четырёхугольные грани в двуугольники с двумя рёбрами, соединяющими две вершины, и эти два ребра могут быть заменены или не заменены одним ребром. Например, половинка куба, h{4,3}, полукуб, — это HC, представляющий один из двух тетраэдров. Ho сокращает ortho в ambo/Rectify.
Другие semi-операторы (полуоператоры) можно определить с использованием оператора H. Конвей называет оператор Snub (плосконосое усечение) Коксетера S, semi-snub (полуплосконосым усечением), определённым как Ht. Оператор snub s Конвея определяется как SR. Например, SRC — это плосконосый куб, sr{4,3}. Плосконосый октаэдр Коксетера, s{3,4} можно определить как SO, построение пиритоэдральной симметрии для правильного икосаэдра. Это также согласуется с определением правильной плосконосой квадратной антипризмой как SA4.
Оператор semi-gyro, G, определяется как dHt. Это позволяет определить оператор поворачивания Конвея g (gyro) как GR. Например, GRC — это gyro-куб, gC, или пентагональный икоситетраэдр. GO определяет пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией, в то время как gT (gyro tetrahedron, гиротетраэдр) определяет тот же самый топологический многогранник с тетраэдральной симметрией.
Оба оператора S и G требуют, чтобы затравочный многогранник имел вершины чётной валентности. Во всех этих полуоператорах имеется два выбора для альтернации вершин для оператора half. Эти две конструкции в общем случае топологически не тождественны. Например, HjC определяет либо куб, либо октаэдр, в зависимости от того, какой набор вершин выбирается.
Другие операторы применимы только к многогранникам с гранями, имеющими чётное число рёбер. Простейшим оператором является semi-join, который является сопряжённым с оператором half, dHd.
Оператор semi-ortho, F, сопряжён с semi-snub. Он добавляет вершину в центр грани и делит пополам все рёбра, но соединяет новыми рёбрами центр только с половиной рёбер, создавая тем самым новые шестиугольные грани. Исходные квадратные грани не требуют наличия центральной вершины, а требует только одно ребро через грань, создающее пару пятиугольников. Например, двенадцатигранник тетартоид может быть построен как FC.
Оператор semi-expand, E, определяется как Htd или Hz. Оператор создаёт треугольные грани. Например, EC создаёт построение с пироэдральной симметрией Шаблон:Не переведено 5.
| Оператор | Пример (Затравка — куб) |
Название | Альтернативное построение |
вершин | рёбер | граней | Описание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| H = H1 H2 |
Файл:Conway hC.png Файл:Conway h1C.png | semi-ambo Half 1 и 2 |
v/2 | e-f4 | f-f4+v/2 | Шаблон:Не переведено 5, удаление половины вершин. Четырёхугольные грани (f4) редуцируются до одиночных рёбер. | |
| I = I1 I2 |
Файл:Conway semiT1C.png Файл:Conway semiT2C.png | semi-truncate 1 и 2 |
v/2+e | 2e | f+v/2 | Усекает каждую вторую вершину | |
| Файл:Conway semiN1C.png Файл:Conway semiN2C.png | semi-needle 1 и 2 |
dI | v/2+f | 2e | e+v/2 | Операция needle каждой второй вершины | |
| F = F1 F2 |
Файл:Conway f1C.png Файл:Conway f2C.png | semi-ortho Flex 1 и 2 |
dHtd = dHz dSd |
v+e+f-f4 | 3e-f4 | e | Операция dual после semi-expand — создаются новые вершины на рёбрах и в центрах граней, 2n-угольники делятся на n шестиугольников, четырёхугольные грани (f4) не будут содержать центральной вершины, так что образуется две пятиугольные грани. |
| E = E1 E2 |
Файл:Conway E1C.png Файл:Conway E2C.png | semi-expand Eco 1 и 2 |
Htd = Hz dF = Sd dGd |
e | 3e-f4 | v+e+f-f4 | Операция dual после semi-ortho — создаются новые треугольные грани. Исходные грани заменяются многоугольниками с половиной сторон, четырёхугольники (f4) при этом редуцируются до одиночных рёбер. |
| U = U1 U2 |
Файл:Conway cupola-C.png Файл:Conway cupola2-C.png | semi-lace CUp 1 и 2 |
v+e | 4e-f4 | 2e+f-f4 | Наращение граней куполами. | |
| V = V1 V2 |
Файл:Conway semilace-C.png Файл:Conway semilace2-C.png | semi-lace Anticup 3 и 4 |
v+e | 5e-f4 | 3e+f-f4 | Наращение граней антикуполами | |
| Файл:Conway semiM1C.png Файл:Conway semiM2C.png | semi-medial 1 и 2 |
XdH = XJd | v+e+f | 5e | 3e | Поочерёдная операция medial относительно диагоналей | |
| Файл:Conway semiM3C.png Файл:Conway semiM4C.png | semi-medial 3 и 4 |
v+e+f | 5e | 3e | Поочерёдная операция medial относительно медиан (соединяющих середины противоположных сторон) | ||
| Файл:Conway semiBC.png | semi-bevel 1 и 2 |
dXdH = dXJd | 3e | 5e | v+e+f | Поочерёдная операция bevel относительно диагоналей | |
| Файл:Conway semiB3C.png | semi-bevel 3 и 4 |
3e | 5e | v+e+f | Поочерёдная операция bevel относительно медиан |
| Оператор | Пример (Затравка — октаэдр) |
Название | Альтернативное построение |
вершин | рёбер | граней | Описание |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J = J1 J2 |
Файл:Conway dHdO.png Файл:Conway dHdO-2.png | semi-join 1 и 2 |
dHd | v-v4+f/2 | e-v4 | f/2 | Оператор, сопряжённый с half, оператор join на чередующихся гранях. 4-валентные вершины (v4) редуцируются до 2-валентных и заменяются одним ребром. |
| Файл:Conway semiK2C.png Файл:Conway semiK1C.png | semi-kis 1 и 2 |
dId | v+f/2 | 2e | f/2+e | Операция kis на половине (поочерёдно, не соприкасающихся по ребру) граней | |
| Файл:Conway semiZ.png | semi-zip 1 и 2 |
Id | f/2+e | 2e | v+f/2 | Операция zip на половине граней | |
| S = S1 S2 |
Файл:Conway SO.png Файл:Conway S2O.png | semi-snub 1 и 2 |
Ht dFd |
v-v4+e | 3e-v4 | f+e | Операция dual после semi-gyro — операция snub, вращение исходных граней с добавлением новых треугольных граней в получающиеся зазоры. |
| G = G1 G2 |
Файл:Conway GO.png Файл:Conway G2O.png | semi-gyro 1 и 2 |
dHt dS = Fd dEd |
f+e | 3e-v4 | v-v4+e | Операция dual после semi-snub — создаются пятиугольные и шестиугольные грани вдоль исходных рёбер. |
| Файл:Conway semimedial-dO.png Файл:Conway semimedial2-dO.png | semi-medial 1 и 2 |
XdHd = XJ | 3e | 5e | v+e+f | Операция medial на половине (не соприкасающихся ребром) граней | |
| Файл:Conway sembevel-dO.png | semi-bevel 1 и 2 |
dXdHd = dXJ | v+e+f | 5e | 3e | Операция bevel на половине (не соприкасающихся ребром) граней |
Подразделения
Операция subdivision (подразделения) делит исходные рёбра на n новых рёбер, а внутренность граней заполняется треугольниками или другими многоугольниками.
Квадратное подразделение
Оператор ortho можно применить в серии степеней двойки четырёхугольных подразделений. Другие подразделения могут быть получены как результат факторизованных подразделений. Оператор propeller, применённый последовательно, даёт 5-орто подразделение. Если затравка имеет нечетырёхугольные грани, они остаются как уменьшенные копии для нечётных операторов ortho.
| Ortho | o2=o | o3 | o4=o2 | o5 =prp |
o6=oo3 | o7 | o8=o3 | o9=o32 | o10=oo5 =oprp | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пример | Файл:Conway C.png | Файл:Conway oC.png | Файл:Conway o3C.png | Файл:Conway deeC.png | Файл:Conway o5C.png | Файл:Conway o6C.png | Файл:Conway o7C.png | Файл:Conway o8C.png | Файл:Conway o9C.png | Файл:Conway o10C.png |
| Вершины | v | v+e+f | v+4e | v+7e+f | v+12e | v+17e+f | v+24e | v+31e+f | v+40e | v+63e+f |
| Рёбра | e | 4e | 9e | 16e | 25e | 36e | 49e | 64e | 81e | 128e |
| Грани | f | 2e | f+4e | 8e | f+12e | 18e | f+24e | 32e | f+40e | 64e |
| Expand (dual) |
e2=e | e3 | e4=e2 | e5 =dprp |
e6=ee3 | e7 | e8=e3 | e9=e32 | e10=ee5 =doprp | |
| Пример | Файл:Conway C.png | Файл:Conway eC.png | Файл:Conway e3C.png | Файл:Conway eeC.png |
Хиральное шестиугольное подразделение
Оператор whirl создаёт Шаблон:Не переведено 5 G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины. Две последовательные операции whirls создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b и тем же самым хиральным направлением. Если хиральные направления обратны, G(a,b) превращается в G(2a+3b,a-2b) при a>=2b и в G(3a+b,2b-a) при a<2b.
Операторы whirl-n образуют многогранники Голдберга (n,n-1) и могут быть определены путём деления рёбер затравочного многогранника на 2n-1 подрёбер.
Результат операции whirl-n и ей обратной образует (3n2-3n+1,0) Шаблон:Не переведено 5. wrw образует (7,0), w3rw3 образует (19,0), w4rw4 образует (37,0), w5rw5 образует (61,0), а w6rw6 образует (91,0). Результат двух операций whirl-n — это ((n-1)(3n-1),2n-1) или (3n2-4n+1,2n-1). Произведение wa на wb даёт (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), а wa на обратный wb даёт (3ab-a-2b+1,a-b) для a≥b.
Произведение двух идентичных операторов whirl-n образует многогранник Голдберга ((n-1)(3n-1),2n-1). Произведение k-whirl и zip — это (3k-2,1).
| Название | Затравка | Whirl | Whirl-3 | Whirl-4 | Whirl-5 | Whirl-6 | Whirl-7 | Whirl-8 | Whirl-9 | Whirl-10 | Whirl-11 | Whirl-12 | Whirl-13 | Whirl-14 | Whirl-15 | Whirl-16 | Whirl-17 | Whirl-18 | Whirl-19 | Whirl-20 | Whirl-n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Оператор (Состоавной) |
- | w=w2 | w3 | w4 | w5 | w6 wrw3,1 |
w7 | w8 w3,1w3,1 |
w9 ww5,1 |
w10 | w11 | w12 | w13 ww7,2 |
w14 | w15 | w16 ww9,2 |
w17 w3w6,1 |
w18 | w19 w3,1w7,3 |
w20 ww11,3 |
wn |
| Шаблон:Не переведено 5 | (1,0) | (2,1) | (3,2) | (4,3) | (5,4) | (6,5) | (7,6) | (8,7) | (9,8) | (10,9) | (11,10) | (12,11) | (13,12) | (14,13) | (15,14) | (16,15) | (17,16) | (18,17) | (19,18) | (20,19) | (n,n-1) |
| T разложение |
1 | 7 | 19 | 37 | 61 | 91 7×13 |
127 | 169 13×13 |
217 7×31 |
271 | 331 | 397 | 469 7×67 |
547 | 631 | 721 7×103 |
817 19×43 |
919 | 1027 13×79 |
1141 7×163 |
3n(n-1)+1 |
| Пример | Файл:Conway C.png | Файл:Conway wC.png | Файл:Conway w3-2.png | Файл:Conway w4-3C.png | Файл:Conway w5-4C.png | Файл:Conway w6-5C.png | Файл:Conway w7C.png | Файл:Conway w8C.png | Файл:Conway w9C.png | ||||||||||||
| Вершина | v | v+4e | v+12e | v+24e | v+40e | v+60e | v+84e | v+112e | v+144e | v+180e | v+220e | v+264e | v+312e | v+364e | v+420e | v+480e | v+544e | v+612e | v+684e | v+760e | v+2n(n-1)e |
| Рёбра | e | 7e | 19e | 37e | 61e | 91e | 127e | 169e | 217e | 271e | 331e | 397e | 469e | 547e | 631e | 721e | 817e | 919e | 1027e | 1141e | e+3n(n-1)e |
| Грани | f | f+2e | f+6e | f+12e | f+20e | f+30e | f+42e | f+56e | f+72e | f+90e | f+110e | f+132e | f+156e | f+182e | f+210e | f+240e | f+272e | f+306e | f+342e | f+380e | f+n(n-1)e |
| wnwn | (1,0) | (5,3) | (16,5) | (33,7) | (56,9) | (85,11) | (120,13) | (161,15) | (208,17) | (261,19) | (320,21) | (385,23) | (456,25) | (533,27) | (616,29) | (705,31) | (800,33) | (901,35) | (1008,37) | (1121,39) | ((n-1)(3n-1),2n-1) |
| wnrwn | (1,0) | (7,0) | (19,0) | (37,0) | (61,0) | (91,0) | (127,0) | (169,0) | (217,0) | (271,0) | (331,0) | (397,0) | (469,0) | (547,0) | (631,0) | (721,0) | (817,0) | (919,0) | (1027,0) | (1141,0) | (1+3n(n-1),0) |
| wnz | (1,1) | (4,1) | (7,1) | (10,1) | (13,1) | (16,1) | (19,1) | (22,1) | (25,1) | (28,1) | (31,1) | (34,1) | (37,1) | (40,1) | (43,1) | (46,1) | (49,1) | (52,1) | (55,1) | (58,1) | (3n-2,1) |
Триангулированное подразделение
Операция un делит грани на треугольники путём деления каждого ребра на n частей, называемой n-частотным подразделением Шаблон:Не переведено 5 Бакминстера ФуллераШаблон:Sfn.
Операторы Конвея на многогранниках могут построить многие из этих подразделений.
Если все исходные грани являются треугольниками, новые многогранники будут также иметь все грани в виде треугольников, и на месте исходных граней создаются треугольные мозаики. Если исходные многогранники имеют грани с бо́льшим числом сторон, все новые грани не обязательно будут треугольниками. В таких случаях к многограннику сначала можно применить операцию kis с новыми вершинами в центре каждой грани.
Геодезические многогранники
Операции Конвея могут дублировать некоторые многогранники Голдберга и двойственные геодезическим многогранникам. Число вершин, рёбер и граней Шаблон:Не переведено 5 G(m,n) можно вычислить исходя из m и n и число новых треугольников в каждом исходном треугольнике вычисляется по формуле T = m2 + mn + n2 = (m + n)2 − mn. Построения (m,0) и (m,m) перечислены ниже обозначения операций Конвея.
Класс I
Для двойственных многогранников Голдберга оператор uk определяется здесь как деление граней с подразделением рёбер на k частей. При этом оператор Конвея u = u2, а его сопряжённый оператор dud является оператором chamfer, c. Этот оператор используется в компьютерной графике, в Шаблон:Не переведено 5. Оператор u3 задаётся оператором Конвея kt=x, а его сопряжённый оператор y=dxd=tk. Произведение двух whirl операторов с обращением хиральности, wrw или wШаблон:Overline, даёт 7-подразделение в виде Шаблон:Не переведено 5 G(7,0), так что u7=vrv. Более мелкие подразделения и операции whirl в хиральных парах могут построить дополнительные формы класса I. Операция w(3,1)rw(3,1) даёт многогранник Голдберга G(13,0). Операция w(3,2)rw(3,2) даёт G(19,0).
Класс II
Может быть определено также ортогональное подразделение, используя оператор n=kd. Оператор преобразует Шаблон:Не переведено 5 (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Он преобразует (a,0) в (a,a), а (a,a) в (3a,0). Оператор z=dk делает то же самое для многогранников Голдберга.
Класс III
Большинство геодезических многогранников и двойственные к многогранникам Голдберга G(n,m) нельзя построить с помощью операторов, производных от операторов Конвея. Операция whirl создаёт Шаблон:Не переведено 5 G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины, а n-whirl образует G(n,n-1). На формах с икосаэдральной симметрией t5g эквивалентен в этом случае whirl. Операция v (=volute = виток, оборот) представляет треугольное подразделение, двойственное whirl. На икосаэдральных формах операция может быть осуществлена с помощью производного оператора k5s, pentakis snub.
Две последовательные операции whirl создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b с тем же самым хиральным направлением. Если хиральное направление обратное, G(a,b) становится G(2a+3b,a-2b) для a>=2b, и G(3a+b,2b-a) для a<2b.
Примеры многогранников по симметрии
Повторение операций, начав с простой формы, может дать многогранники с большим числом граней, сохраняющих симметрию затравки.
Тетраэдральная симметрия
-
tatT
-
stT
-
XT (10e)
-
dXT (10e)
-
m3T
-
b3T
-
dHccC
-
dFtO
-
FtO
Октаэдральная симметрия
-
daC Шаблон:Wayback (2e)
-
cC (4e) * Шаблон:Wayback
-
cO Шаблон:Wayback (4e)
-
dakC Шаблон:Wayback (6e)
-
m3C (6e)
-
m3O (6e)
-
b3C (6e)
-
b3O (6e)
-
atC Шаблон:Wayback (6e)
-
qC (6e)
-
edaC Шаблон:Wayback (8e)
-
dktO=tkC Шаблон:Wayback (9e)
-
XO (10e)
-
XC (10e)
-
dXO (10e)
-
dXC (10e)
-
cdkC Шаблон:Wayback (12e)
-
ccC Шаблон:Wayback (16e)
-
tkdkC Шаблон:Wayback (18e)
-
tatO Шаблон:Wayback (18e)
-
tatC Шаблон:Wayback (18e)
-
l6l8taC Шаблон:Wayback (22e)
-
ccdkC Шаблон:Wayback (48e)
-
wrwC Шаблон:Wayback (49e)
-
cccC Шаблон:Wayback (64e)
-
tktkC Шаблон:Wayback (81e)
-
H1taC
-
H2taC
-
dH1taC
-
dH2taC
- Хиральные
-
wC Шаблон:Wayback (7e)
-
saC Шаблон:Wayback (10e)
-
gaC Шаблон:Wayback (10e)
-
saC Шаблон:Wayback (10e)
-
stO Шаблон:Wayback (15e)
-
stC Шаблон:Wayback (15e)
Изоэдральная симметрия
-
kD Шаблон:Wayback = daD (2e)
-
kD (3e) * Шаблон:Wayback
-
dkD=tI (3e) * Шаблон:Wayback
-
cI (4e) * Шаблон:Wayback
-
Шаблон:Не переведено 5 = cD (4e) * Шаблон:Wayback
-
atD Шаблон:Wayback (6e)
-
Шаблон:Не переведено 5 = akD (6e) * Шаблон:Wayback
-
qD Шаблон:Wayback (6e)
-
m3D (6e)
-
m3I (6e)
-
b3D (6e)
-
b3I (6e)
-
edaD (8e) * Шаблон:Wayback
-
tkdD (9e) * Шаблон:Wayback
-
gaD (10e) * Шаблон:Wayback
-
XI (10e)
-
XD (10e)
-
dXI (10e)
-
dXD (10e)
-
cdkD Шаблон:Wayback (12e)
-
m3aI (12e)
-
tatI Шаблон:Wayback = takD (18e)
-
tatD Шаблон:Wayback (18e)
-
atkD Шаблон:Wayback (18e)
-
m3tD (18e)
-
qtI Шаблон:Wayback = t5t6otI (18e)
-
dqtI Шаблон:Wayback = k5k6etI (18e)
-
actI Шаблон:Wayback (24e)
-
kdktI Шаблон:Wayback (27e)
-
tktI Шаблон:Wayback (27e)
-
dctkD Шаблон:Wayback (36e)
-
ctkD Шаблон:Wayback (36e)
-
dHtmD
-
F1taD
-
F2taD
-
dF1taD
-
dF2taD
- Хиральные
-
dsD (5e)
-
sD (5e)
-
wD (7e)
-
saD (10e)
-
saD (10e)
-
g3D (11e)
-
s3D (11e)
-
g3I (11e)
-
s3I (11e)
-
stI (15e)
-
stD (15e)
-
wtI (21e)
-
k5k6stI (21e)
Диэдральная симметрия
-
t4daA4=cA4
-
t4daA4=cA4 (side)
-
t4daA4=cA4 (top)
-
tA4
-
tA5
-
htA2
-
htA3=I
-
htA4
-
htA5
-
eP3 = aaP3
-
eA4 = aaA4
Тороидальная симметрия
Тороидальные мозаики существуют на плоском торе, на поверхности Шаблон:Не переведено 5 в четырёхмерном пространстве, но могут быть спроектированы в трёхмерное пространство как обычный тор. Эти мозаики топологически подобны подмножествам мозаик евклидовой плоскости.
-
1x1 правильный квадратный тор, {4,4}1,0
-
Правильный 4x4 квадратный тор, {4,4}4,0
-
tQ24×12 проекция на тор
-
taQ24×12 проекция на тор
-
actQ24×8 проекция на тор
-
tH24×12 проекция на тор
-
taH24×8 проекция на тор
-
kH24×12 проекция на тор
Евклидова квадратная симметрия
-
tQ
-
cQ
-
akQ
-
HdXQ
-
dHdXQ
Евклидова треугольная симметрия
-
tH
-
cΔ
-
cH
-
ctH
-
dakH
-
aaaH
-
aaaH, равносторонняя
См. также
- Однородные многогранники
- Алгоритмы компьютерной графики:
- Шаблон:Не переведено 5 – expand operator
- Алгоритм подразделения поверхности Катмулла — Кларка – оператор ortho
- Шаблон:Не переведено 5
- Шаблон:Не переведено 5
Примечания
Литература
- Шаблон:Не переведено 5, Sculpture based on Propellorized Polyhedra, Proceedings of MOSAIC 2000, Seattle, WA, August, 2000, pp. 61–70 [1] Шаблон:Wayback
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
Ссылки
- George Hart's Conway interpreter Шаблон:Wayback: generates polyhedra in VRML, taking Conway notation as input. Also includes helpful explanations of the operations.
- Vertex- and edge-truncation of the Platonic and архимедовых тел leading to vertex-transitive polyhedra Шаблон:Wayback Livio Zefiro
- polyHédronisme Шаблон:Wayback: generates polyhedra in HTML5 canvas, taking Conway notation as input
- Шаблон:Mathworld
- John Conway's notation Шаблон:Wayback Visualization of Conway Polyhedron Notation Шаблон:Wayback
- Шаблон:Mathworld (truncate)
- Шаблон:Mathworld (ambo)
- Шаблон:Mathworld (kis)
- Conway operators, PolyGloss, Wendy Krieger Шаблон:Wayback
- Derived Solids
Шаблон:Многогранники Шаблон:Rq
0C.png){kind=link}
0C.png){kind=link}
0dC.png){kind=link}
0dC.png){kind=link}
