Русская Википедия:Нотация Фойгта

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком Вольдемаром Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Обозначения

Если тензор 4-ранга <math>c_{ijkl}</math> обладает симметрией по первой и второй паре индексов:

<math>c_{ijkl}=c_{jikl}</math>,

<math>c_{ijkl}=c_{ijlk}</math>,

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

<math>11 \rightarrow 1</math>

<math>22 \rightarrow 2</math>

<math>33 \rightarrow 3</math>

<math>23, 32 \rightarrow 4</math>

<math>13, 31 \rightarrow 5</math>

<math>12, 21 \rightarrow 6</math>.

Например, компонента <math>c_{3122}</math> будет соответствовать элементу матрицы <math>C_{52}</math>.

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Матричная запись закона Гука

Шаблон:Main Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

<math>\sigma_{ij}=c_{ijkl} \varepsilon_{kl}</math>,

где <math>\sigma_{ij}</math> и <math>\varepsilon_{kl}</math> — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости <math>c_{ijkl}</math> обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения:

<math>c_{ijkl}=\frac{\partial^2 F}{\partial \varepsilon_{ij} \partial \varepsilon_{kl}}</math>,

где <math>F</math> — свободная энергияШаблон:Уточнить в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует <math>c_{ijkl}=c_{klij}</math>. Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных. Поэтому матрица <math>C_{\alpha\beta}</math>, составленная из компонент <math>c_{ijkl}</math>, будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

<math>\sigma_\alpha = C_{\alpha\beta} \epsilon_\beta</math>,

где индексы <math>\alpha, \beta</math> пробегают значения от 1 до 6, или:

<math>\begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1113} & c_{1112} \\
                \cdot    & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2213} & c_{2212} \\
                \cdot    &  \cdot   & c_{3333} & c_{3323} & c_{3313} & c_{3312} \\
                \cdot    &  \cdot   &  \cdot   & c_{2323} & c_{2313} & c_{2312} \\
                \cdot    &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   & c_{1313} & c_{1312} \\
                \cdot    &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   & c_{1212} \\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12}\end{pmatrix} </math>

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации <math>\varepsilon_{23}</math>, <math>\varepsilon_{13}</math>, <math>\varepsilon_{12}</math> необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты <math>\sigma_{11}</math> входит слагаемое <math>c_{1123} \varepsilon_{23} + c_{1132} \varepsilon_{32}</math>, которое в матричной записи соответствует слагаемому <math>c_{1123} 2\varepsilon_{23}</math>.

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости <math>s_{ijkl}</math>:

<math>\varepsilon_{ij}=s_{ijkl} \sigma_{kl}</math>

Тензор <math>s_{ijkl}</math> характеризуется той же степенью симметрии, что и <math>c_{ijkl}</math>. Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице <math>C_{\alpha\beta}</math>.

Обратное матричное уравнение <math>\epsilon_\alpha = S_{\alpha\beta} \sigma_\beta</math>, где <math>S = C^{-1}</math>, выглядит следующим образом:

<math>

\begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12}\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1113} & 2s_{1112} \\
                \cdot    & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2213} & 2s_{2212} \\
                \cdot    &  \cdot   & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3313} & 2s_{3312} \\
                \cdot    &  \cdot   &  \cdot   & 4s_{2323} & 4s_{2313} & 4s_{2312} \\
                \cdot    &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   & 4s_{1313} & 4s_{1312} \\
                \cdot    &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   &  \cdot   & 4s_{1212} \\
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}\end{pmatrix} </math>

Преобразование поворота

При переходе от декартовой системы координат <math>x_1,x_2,x_3</math> к декартовой системе координат <math>x_1^\prime,x_2^\prime,x_3^\prime</math> путём поворота, компоненты тензора упругих постоянных преобразуются по следующей формуле в соответствии с преобразованием тензора четвёртого ранга:

<math>C'_{ijkl}=n_{i\alpha}n_{j\beta}n_{k\gamma}n_{l\delta}C_{\alpha\beta\gamma\delta}</math>

Примеры

Тензор упругости изотропного материала: упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Ламэ <math>\lambda</math> и <math>\mu</math>):

<math>

\begin{pmatrix} \lambda+2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                \lambda    & \lambda+2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\
                \lambda    &  \lambda  & \lambda+2\mu & 0 & 0 & 0 \\
                0    &  0   &  0   & \mu & 0 & 0 \\
                0    &  0   &  0   &  0   & \mu & 0 \\
                0    &  0   &  0   &  0   &  0   & \mu \\
\end{pmatrix}

</math>

Тензор упругости материала с гексагональной симметрией: тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае <math>x_3</math>), при повороте вокруг которой свойства не меняются; описывается 5 независимыми упругими постоянными:

<math>

\begin{pmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & 0 & 0 & 0 \\
                c_{1122} & c_{1111} & c_{1133} & 0 & 0 & 0 \\
                c_{1133} & c_{1133} & c_{3333} & 0 & 0 & 0 \\
                0    &  0   &  0   & c_{2323} & 0 & 0 \\
                0    &  0   &  0   &  0   & c_{2323} & 0 \\
                0    &  0   &  0   &  0   &  0   & \frac{1}{2}(c_{1111}-c_{1122}) \\
\end{pmatrix}

</math>.

Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор <math>I</math>:

<math>I_{ijkl}=\frac{1}{2}(\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk})</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга