Русская Википедия:Нотация анализа

Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация ЛейбницаШаблон:Переход, также широко используются нотации ЛагранжаШаблон:Переход, ЭйлераШаблон:Переход, НьютонаШаблон:Переход.

Нотация Лейбница

Шаблон:Image frame Шаблон:Основная статья

Оригинальная нотация, использованная Готфридом Вильгельмом Лейбницем, сплошь используется математиками. Она особенно удобна, когда выражение <math>y=f(x)</math> рассматривается как функциональная связь между переменными <math>y</math> и <math>x</math>. Нотация Лейбница делает эту связь явной путём записи производной как

Функция, значение которой в точке Шаблон:Math является производной от Шаблон:Math по Шаблон:Math тогда записывается

Производные большего порядка записываются как

<math>\frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \frac{d^4y}{dx^4}, \ldots, \frac{d^ny}{dx^n}.</math>

Это напоминает формальную манипуляцию символами

<math>\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^2y = \frac{d^2y}{dx^2}.</math>

Вообще говоря, эти равенства не являются теоремами. Более того, они являются просто определениями нотации. К тому же применение правила вычисления Шаблон:Нп5 к вышеприведённой нотации с использованием dd, чтобы не путать с d², даёт

<math>\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \frac{ddy}{dx^2}-\frac{dy}{dx}\frac{ddx}{dx^2}.</math>

Значение производной Шаблон:Math в точке <math>x=a</math> можно выразить с помощью нотации Лейбница двумя путями:

<math>\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \text{ или } \frac{dy}{dx}(a)</math>.

Обозначение Лейбница позволяет указать переменную, по которой ведётся дифференцирования (в знаменателе). Это особенно удобно, когда рассматриваются частные производные. Это также позволяет легко запомнить и распознать правило дифференцирования сложной функции:

Нотация Лейбница для дифференцирования не требует придания особого смысла символам, таким как <math>dx</math> или <math>dy</math> и некоторые авторы не пытаются придать этим символам какой-то смысл. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые величины. Позднее авторы дали им другие смыслы, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные.

Некоторые авторы и журналы используют прямое написание символа дифференцирования Шаблон:Math вместо курсива, то есть Шаблон:Math. Стандарт ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Нотация Лейбница для первообразной

Шаблон:Image frame

Для функций от 2 и более переменных см. Кратный интеграл

Лейбниц ввёл знак интеграла <math>\int</math> в работах Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae exempla (обе работы 1675 года). Знак стал стандартным символом интегрирования.

<math>\begin{align}

                                                  \int y'\,dx &= \int f'(x)\,dx = f(x) + C_0 = y + C_0 \\
                                                   \int y\,dx &= \int f(x)\,dx = F(x) + C_1 \\
                                            \iint y\,dx^2 &= \int \left ( \int y\,dx \right ) dx = \int_{X\times X} f(x)\,dx = \int F(x)\,dx = g(x) + C_2 \\
 \underbrace{\int \dots \int}_{\!\! n} y\,\underbrace{dx \dots dx}_n &= \int_{\underbrace{X\times\cdots\times X}_n} f(x)\,dx = \int s(x)\,dx = S(x) + C_n

\end{align}</math>

Нотация Лагранжа

Шаблон:Image frame

Одна из наиболее употребительных нотаций дифференцирования названа именем Жозефа Луи Лагранжа, хотя на самом деле её ввёл Эйлер, а Лагранж просто сделал нотацию популярной. В нотации Лагранжа штрих означает производную. Если f — функция, то её производная от x записывается как

<math>f'(x)</math>.

Нотация появилась в печати в 1749 годуШаблон:R.

Производные более высоких порядков отображаются дополнительными знаками, <math>f(x)</math> для второй производной и <math>f'(x)</math> для Шаблон:Нп5. Использование кратных штрихов рано или поздно приводит к громоздким выражениям. Некоторые авторы продолжают использование римских цифр, обычно на нижнем регистреШаблон:Sfn Шаблон:Sfn как ниже

<math>f^{\mathrm{iv}}(x), f^{\mathrm{v}}(x), f^{\mathrm{vi}}(x), \ldots,</math>

для обозначения четвёртой, пятой, шестой и производных более высокого порядка. Другие авторы используют арабские цифры в скобках как ниже

<math>f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), f^{(6)}(x), \ldots.</math>

Эта нотация делает возможным записать n-ю производную, где n является переменной. Делается это так

Символы юникода для нотации Лагранжа:

Если имеется две независимые переменные для функции f(x, y), можно следовать следующим соглашениямШаблон:Sfn:

<math>\begin{align}

         f^\prime &= \frac{df}{dx} = f_x \\
         f_\prime &= \frac{df}{dy} = f_y \\
 f^{\prime\prime} &= \frac{d^2 f}{dx^2} = f_{xx} \\
  f_\prime^\prime &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}\ = f_{xy} \\
 f_{\prime\prime} &= \frac{d^2 f}{dy^2} = f_{yy}

\end{align}</math>

Нотация Лагранжа для первообразной

Шаблон:Image frame

Для обозначения первообразной Лагранж следовал нотации ЛейбницаШаблон:R:

Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией взятия производной, нотация Лагранжа для производных больших степеней распространяется и на интегрирование. Кратные интегралы от f могут быть записаны как

<math>f^{(-1)}(x)</math> для обычного интеграла (не спутайте с обратной функцией <math>f^{-1}(x)</math>),

<math>f^{(-2)}(x)</math> для двойного интеграла,

<math>f^{(-3)}(x)</math> для тройного интеграла

<math>f^{(-n)}(x)</math> для n-кратного интеграла.

Нотация Эйлера

Шаблон:Image frame

Нотация Эйлера использует дифференциальный оператор, предложенный Луи-Франсуа-Антуаном Арбогастом, имеющим обозначение <math>D</math> (D-оператор)Шаблон:R или <math>\tilde{D}</math> (оператор Ньютона — Лейбница)Шаблон:R. Когда применяется к функции <math>f(x)</math>, оператор определяется как

Производные более высокого порядка обозначаются как «степени» оператора D (где индекс обозначает кратность оператора D)Шаблон:Sfn

<math>D^2f</math> для второй производной,

<math>D^3f</math> для третьей производной

<math>D^nf</math> для n-й производной.

Нотация Эйлера не указывает явно переменную, по которой ведётся дифференцирование. Однако эту переменную можно указать и явно. Если f — это функция от переменной x, это можно выразить, записавШаблон:Sfn

<math>D_xf</math> для первой производной,

<math>D^2_xf</math> для второй производной,

<math>D^3_xf</math> для третьей производной

<math>D^n_xf</math> для n-й производной.

Если f является функцией нескольких переменных, принято использовать «∂», а не Шаблон:Math. Как и выше, нижний индекс означает переменную, по которой ведётся дифференцирование. Например, вторые частные производные функции Шаблон:Math обозначаются какШаблон:Sfn:

<math>\partial_{xx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},</math>

<math>\partial_{xy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x},</math>

<math>\partial_{yx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y},</math>

<math>\partial_{yy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.</math>

См. Шаблон:Ссылка на раздел.

Нотация Эйлера полезна для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений, поскольку упрощает представление дифференциальных уравнений, что позволяет увидеть существенные элементы задачи проще.

Нотация Эйлера для первообразной

Шаблон:Image frame

Нотация Эйлера может быть использована для первообразной так же, как и нотация ЛагранжаШаблон:R, следующим образомШаблон:R

<math>D^{-1}f(x)</math> для первой первообразной,

<math>D^{-2}f(x)</math> для второй первообразной

<math>D^{-n}f(x)</math> для n-й первообразной.

Нотация Ньютона

Шаблон:Image frame

Нотация Ньютона для дифференцирования помещает точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией от t, то производная y по t есть

<math>\dot y</math>.

Производные более высокого порядка представляются кратными точками как ниже

<math>\ddot y, \overset{...}{y}</math>

Ньютон распространил эту идею широкоШаблон:R:

<math>\begin{align}

                \ddot{y} &\equiv \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)  = \frac{d}{dt}\Bigl(\dot{y}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(f'(t)\Bigr) = D_t^2 y = f(t) = y_t \\
        \overset{...}{y} &= \dot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^3y}{dt^3} = D_t^3 y = f(t) = y_t \\
  \overset{\,4}{\dot{y}} &= \overset{....}{y} = \ddot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^4y}{dt^4} = D_t^4 y = f^{\rm IV}(t) = y^{(4)}_t \\
  \overset{\,5}{\dot{y}} &= \ddot{\overset{...}{y}} = \dot{\ddot{\ddot{y}}} = \ddot{\dot{\ddot{y}}} \equiv \frac{d^5y}{dt^5} = D_t^5 y = f^{\rm V}(t) = y^{(5)}_t \\
  \overset{\,6}{\dot{y}} &= \overset{...}{\overset{...}{y}} \equiv \frac{d^6y}{dt^6} = D_t^6 y = f^{\rm VI}(t) = y^{(6)}_t \\
  \overset{\,7}{\dot{y}} &= \dot{\overset{...}{\overset{...}{y}}} \equiv \frac{d^7y}{dt^7} = D_t^7 y = f^{\rm VII}(t) = y^{(7)}_t \\
 \overset{\,10}{\dot{y}} &= \ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y}}}}} \equiv \frac{d^{10}y}{dt^{10}} = D_t^{10} y = f^{\rm X}(t) = y^{(10)}_t \\
  \overset{\,n}{\dot{y}} &\equiv \frac{d^ny}{dt^n} = D_t^n y = f^{(n)}(t) = y^{(n)}_t

\end{align}</math>

Символы юникода для нотации Ньютона:

Нотация Ньютона в основном используется, когда независимой переменной служит время. Если положение Шаблон:Math является функцией от времени t, то <math>\dot y</math> обозначает скорость Шаблон:R, а <math>\ddot y</math> обозначает ускорение Шаблон:R. Эта нотация популярна в физике и математической физике. Она также появляется в математических областях, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Нотация популярна только для первой и второй производных, но в этих приложениях производные большего порядка и не требуются.

Когда берётся производная зависимой переменной <math>y=f(x)</math>, существует альтернативная нотацияШаблон:Sfn:

<math>\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \dot{y}:\dot{x} \equiv \frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(f(x)\Bigr) = D y = f'(x) = y'.</math>

Ньютон разработал следующие операторы частных производных на основе точки сбоку от изогнутого X (ⵋ). Определения, данные Вайтсайдом следующиеШаблон:Sfn^[1]:

<math>\begin{align}

      \mathcal{X}                                                            \ &=\  f(x,y) \,, \\
      \cdot\mathcal{X}                                                       \ &=\  x\frac{\partial f}{\partial x} = xf_x\,, \\
      \mathcal{X}\!\cdot                                                     \ &=\  y\frac{\partial f}{\partial y} = yf_y\,, \\
      \colon\!\mathcal{X}\,\text{ или }\,\cdot\!\left(\cdot\mathcal{X}\right) \ &=\  x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = x^2 f_{xx}\,, \\
      \mathcal{X}\colon\,\text{ или }\,\left(\mathcal{X}\cdot\right)\!\cdot   \ &=\  y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = y^2 f_{yy}\,, \\
      \cdot\mathcal{X}\!\cdot\                                               \ &=\  xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = xy f_{xy}\,,

\end{align}</math>

Нотация Ньютона для интегрирования

Шаблон:Image frame

Ньютон разработал много различных нотаций для интрегрирования в работе Quadratura curvarum (1704) и Шаблон:Нп5 — он писал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной (<math>\overset{\,\prime}{y}</math>), прямоугольник перед переменной (<math>{\Box}y</math>) или заключение в прямоугольник (Шаблон:Math) для обозначения Шаблон:Нп5 или интеграла по времени.

<math>\begin{align}

                     y &= \Box \dot{y} \equiv \int \dot{y} \,dt = \int f'(t) \,dt = D_t^{-1} (D_t y) = f(t) + C_0 = y_t + C_0 \\
 \overset{\,\prime}{y} &= \Box y \equiv \int y \,dt = \int f(t) \,dt = D_t^{-1} y = F(t) + C_1

\end{align}</math>

Для обозначения кратных интегралов Ньютон использовал маленькие вертикальные чёрточки (<math>\overset{\,\prime\prime}{y}</math>) или комбинацию предшествующих букве символов <math>{\Box}\overset{\,\prime}{y}</math> <math>\overset{\,\prime}{y}</math> для обозначения двойного интеграла по времени.

<math>\overset{\,\prime\prime}{y} = \Box \overset{\,\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime}{y} \,dt = \int F(t) \,dt = D_t^{-2} y = g(t) + C_2</math>

Более высокие интегралы по времени были следующиеШаблон:R:

<math>\begin{align}

       \overset{\,\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime}{y} \,dt = \int g(t) \,dt = D_t^{-3} y = G(t) + C_3 \\
 \overset{\,\prime\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \,dt = \int G(t) \,dt = D_t^{-4} y = h(t) + C_4 \\
      \overset{\;n}\overset{\,\prime}{y} &= \Box \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \equiv \int \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \,dt = \int s(t) \,dt = D_t^{-n} y = S(t) + C_n

\end{align}</math>

Эти математические обозначения не стали общеупотребительными ввиду трудности печати и спора Ньютона и Лейбница о приоритете.

Частные производные

Шаблон:Image frame

Когда требуются более специфичные типы дифференцирования, такие как в анализе функций многих переменных или тензорном анализе, общеупотребительны другие нотации.

Для функции f от независимой переменной x мы можем выразить производную с помощью индекса в виде независимой переменной:

<math>\begin{align}

     f_x &= \frac{df}{dx} \\
 f_{x x} &= \frac{d^2f}{dx^2}.

\end{align}</math>

Этот тип нотации особенно полезен для обозначения частных производных функции многих переменных.

Шаблон:Image frame

Частные производные обычно отличают от обычных производных путём замены оператора дифференцирования d на символ «∂». Например, мы можем выразить частную производную <math>f(x,y,z)</math> по x, но не по y или z несколькими способами:

<math>\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f.</math>

Что делает это отличие в нотации важным, это то, что простая производная (не частная), такая как <math>\textstyle \frac{df}{dx}</math>, может, в зависимости от контекста, быть интерпретирована как скорость изменения <math>f</math> от <math>x</math>, когда все остальные переменные могут изменяться одновременно, в то время как для частной производной, такой как <math>\textstyle \frac{\partial f}{\partial x}</math>, только одна переменная может меняться.

Другие нотации можно найти в различных подобластях математики, физики и технических наук. См., например, соотношения Максвелла термодинамики. Символ <math>\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!S} </math> является производной температуры T по объёму V, сохраняя при этом постоянной энтропию (индекс) S, в то время как <math>\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!P} </math> является производной температуры по объёму при сохранении постоянным давлении P. Это становится необходимым в ситуациях, когда число переменных превосходит число степеней свободы, так что нужно выбирать, какие переменные необходимо сохранять постоянными.

Частные производные большего порядка по одной переменной выражаются как

<math>\frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx},</math>

<math>\frac{\partial^3f}{\partial x^3} = f_{xxx},</math>

и так далее. Смешанные частные производные можно выразить как

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = f_{xy}.</math>

В этом последнем случае переменные записаны в обратном порядке для двух нотаций:

<math>\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y \partial x}.</math>

Так называемый мультииндекс используется в ситуациях, когда вышеописанные обозначения становятся громоздкими или недостаточно выразительными. Если рассматривать функции на <math>\R^n</math>, мы определим мультииндекс как упорядоченный список <math>n</math> неотрицательных целых чисел: <math>\alpha = (\alpha_1,..,\alpha_n), \ \alpha_i \in \Z_{\geq 0}</math>. Определим теперь для <math>f:\R^n \to X</math> нотацию

<math>\partial^\alpha f = \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} f</math>

При таком определении некоторые результаты (такие как формула Лейбница), которую другим способом записать трудно, может быть выражена кратко. Некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексе Шаблон:Sfn.

Нотация в векторном анализе

Векторный анализ занимается взятием производной и интегрированием векторного или скалярного поля. Для случая трёхмерного евклидова пространства общеупотребительны некоторые нотации.

Предположим, что <math>(x, y, z)</math> является заданной декартовой системы координат, A является векторным полем с компонентами <math>\mathbf{A} = (\mathbf{A}_x, \mathbf{A}_y, \mathbf{A}_z)</math>, а <math>\varphi = \varphi(x,y,z)</math> является скалярным полем.

Оператор дифференцирования, введённый Уильямом Роуэном Гамильтоном, записываемый как <math>\nabla</math> и называемый набла, определяется в символической форме как вектор,

<math>\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\!,</math>

Здесь выражение «в символической форме» отражает факт, что оператор <math>\nabla</math> можно трактовать как обычный вектор.

Шаблон:Image frame

Градиент: Градиент <math>\mathrm{grad\,} \varphi</math> скалярного поля <math>\varphi</math> является вектором, который символически записывается как умножение <math>\nabla</math> на скаляроное поле <math>\varphi</math>,

<math>\begin{align}

 \operatorname{grad} \varphi
   &= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\
   &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\
   &= \nabla \varphi

\end{align}</math>

Шаблон:Image frame

Дивергенция: Дивергенция <math>\mathrm{div}\,\mathbf{A}</math> векторного поля A есть скаляр, который символически выражается как скалярное произведение <math>\nabla</math> и вектора A,

<math>\begin{align}

 \operatorname{div} \mathbf{A}
   &= {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} \\
   &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)  \cdot \mathbf{A} \\
   &= \nabla \cdot \mathbf{A}

\end{align}</math>

Шаблон:Image frame

Оператор Лапласа: Лапласиан <math>\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi</math> скалярного поля <math>\varphi</math> есть скаляр, который символически выражается как скалярное умножение <math>\nabla^2</math> на скалярное поле <math>\varphi</math>,

<math>\begin{align}

 \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi
   &= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\
   &= (\nabla \cdot \nabla) \varphi \\
   &= \nabla^2 \varphi \\
   &= \Delta \varphi \\

\end{align}</math>

Шаблон:Image frame

Ротация:Ротация <math>\mathrm{rot}\,\mathbf{A}</math>, или <math>\mathrm{rot}\,\mathbf{A}</math>, векторного поля A — это вектор, который символически выражается как векторное произведение <math>\nabla</math> и вектора A,

<math>\begin{align}

 \operatorname{rot} \mathbf{A}
   &= \left(
        {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} },
        {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} },
        {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} }
      \right) \\
   &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} +
      \left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} +
      \left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k} \\
   &= \begin{vmatrix}
        \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
        \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\
        A_x & A_y & A_z
      \end{vmatrix} \\
   &= \nabla \times \mathbf{A}

\end{align}</math>

Многие символические операции взятия производный могут быть обобщены простым образом с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения для одной переменной имеет прямой аналог в произведении скалярных полей путём применения оператора градиента

<math>(f g)' = f' g+f g' EducationBot (обсуждение) \Longrightarrow EducationBot (обсуждение) \nabla(\phi \psi) = (\nabla \phi) \psi + \phi (\nabla \psi).</math>

Многие другие правила из анализа одной переменной имеют аналоги в векторном анализе для градиента, дивергенции, ротации и лапласиана.

Далее нотация развивалась для более экзотичных видов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского, оператор Д’Аламбера, называемый также д’аламберианом или волновым оператором записывается как <math>\Box</math> или как <math>\Delta</math>, если не образуется конфликт с символом лапласиана.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылка

Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller (Шаблон:Webarchive).

↑ С. И. Энгельсман дал более строгие определения Шаблон:Harvtxt

[1] С. И. Энгельсман дал более строгие определения Шаблон:Harvtxt

[1]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Нотация анализа

Содержание

Нотация Лейбница

Нотация Лейбница для первообразной

Нотация Лагранжа

Нотация Лагранжа для первообразной

Нотация Эйлера

Нотация Эйлера для первообразной

Нотация Ньютона

Нотация Ньютона для интегрирования

Частные производные

Нотация в векторном анализе

См. также

Примечания

Литература

Ссылка

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты