Русская Википедия:Нулевая матрица
Нулева́я ма́трица — это матрица, размера <math>m\times n,</math> все элементы которой равны нулю. Она обозначается как <math>Z</math> или <math>O</math> или <math>O_{m,n}</math>Шаблон:Sfn
<math>Z=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
Признаки
Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.
Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.
Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).
Свойства
- Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:
- <math>a\,Z = Z.</math>
- Сумма матрицы <math>A</math> и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице <math>A</math>:
- <math>A + Z = A,\;\;\;Z + A = A.</math>
- Разница матрицы <math>A</math> и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице <math>A</math>:
- <math>A - Z = A.</math>
- Произведение матрицы <math>A</math> размера <math>l\times m,</math> на нулевую матрицу размера <math>m\times n,</math> равно нулевой матрице размера <math>l\times n:</math>
- <math>A \cdot Z = Z.</math>
- Квадратная нулевая матрица n×n при <math>n\geqslant 1</math> является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:
- <math>\left|Z\right| = 0.</math>
- Таким образом, такая матрица не имеет обратной.
- Квадратная нулевая матрица является симметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:
- <math>Z^{T}=Z.</math>
- Квадратная нулевая матрица является также кососимметричной:
- <math>Z^{T} = -Z \,( = Z).</math>
- Только нулевая матрица является одновременно и симметричной, и кососимметричной.
- Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.
- Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.
- Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:
- <math>ZA = AZ = Z</math>.
Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.
Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что <math>N M = Z_{m\times n}</math> существуют тогда и только тогда, когда <math>l\geqslant 2</math>. Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда <math>n\geqslant 2</math>. Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.
Примечания
Литература
Шаблон:Нет ссылок Шаблон:Векторы и матрицы
развернутьПартнерские ресурсы |
---|