Русская Википедия:Нётерово кольцо

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Нётерово кольцо́ — тип колец, обобщение кольца главных идеалов. Названы в честь Эмми Нётер.

Определение

Нётерово кольцо — ассоциативное кольцо с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей:

всякая последовательность идеалов (для некоммутативных колец — левых идеалов) <math>p_1\subset p_2\subset\dots\subset p_n\subset \dots</math> стабилизируется, то есть <math>p_n=p_{n+1}=\dots,</math> начиная с некоторого <math>n</math>.

Замечания

• Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получается определение артинова кольца.

Примеры

• Поле, поскольку в нём всего два идеала — <math>\{0\}</math> и само поле.
• Кольцо главных идеалов.
  • Например, кольцо многочленов от одной переменной над полем. (Однако не всякое нётерово кольцо является кольцом главных идеалов.)
• Кольца многочленов от конечного числа переменных над полем являются нётеровыми (но не являются кольцами главных идеалов при числе переменных, большем 1).

Свойства

• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда в любом непустом множестве идеалов <math>A</math> существует максимальный элемент.
• Кольцо нётерово тогда и только тогда, когда любой идеал конечно порождён.
• Теорема Гильберта о базисе: для любого нётерова кольца <math>A</math> кольцо многочленов <math>A[x]</math> — нётерово.
  • В частности, <math>A[x_1, \ldots, x_n]</math> тоже нётерово.
• В коммутативных нётеровых кольцах верна теорема Ласкера — Нётер, согласно которой любой идеал <math>A</math> допускает примарное разложение.

См. также

• Нётеров модуль
• Топология Зарисского

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, — Шаблон:М: Мир, 1972.
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра, — Шаблон:М: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра, — Шаблон:М: Мир, 1968.