Русская Википедия:Нётерово пространство
Нётерово простра́нство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножествШаблон:SfnШаблон:Sfn. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств <math> Y_i </math> пространства X такой, что:
- <math> Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots </math>
существует целое число r, что <math> Y_s = Y_r ~ \forall s>r. </math>
Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество <math>X</math> компактно.
Эквивалентные определения
Топологическое пространство <math>X</math> называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:
- <math>X</math> удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножествШаблон:SfnШаблон:Sfn;
- <math>X</math> удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей открытых подмножествШаблон:Sfn;
- каждое непустое семейство замкнутых подмножеств в <math>X</math>, упорядоченное по включению имеет минимальный элементШаблон:SfnШаблон:Sfn;
- каждое непустое семейство открытых подмножеств в <math>X</math>, упорядоченное по включению имеет максимальный элементШаблон:Sfn;
- каждое подмножество <math>X</math> компактно (с топологией подпространства);
- каждое открытое подмножество <math>X</math> компактноШаблон:Sfn.
Свойства
- Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным)Шаблон:Sfn.
- Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством НётерШаблон:SfnШаблон:Sfn.
- Если пространство <math>X</math> можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то <math>X</math> само нётеровоШаблон:Sfn.
- Нётерово пространство <math>X</math> представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонентШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Примеры
Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии.
- Пространство <math> \mathbb {A} ^ n_k </math> ( аффинное n-мерное пространство над полем k) с топологией Зарисского является топологическим пространством НётерШаблон:Sfn. Согласно определению топологии Зарисского в <math> \mathbb {A} ^ n_k </math> если:
- <math> Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots </math>
есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:
- <math> I (Y_1) \subseteq I (Y_2) \subseteq I (Y_3) \subseteq \cdots </math>
является возрастающей последовательностью идеалов <math> k [x_1, \ldots, x_n] </math> (<math> I (Y_i) </math> обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке <math> (Y_i) </math>). Поскольку <math> k [x_1, \ldots, x_n] </math> является кольцом Нётер, существует целое число <math>m</math>, такое что:
- <math> I (Y_m) = I (Y_ {m +1}) = I (Y_ {m + 2}) \cdots. </math>
Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами <math> k [x_1, \ldots, x_n] </math> и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами <math> \mathbb {A} ^ n_k </math> выполняется <math> V (I (Y_i)) = Y_i </math> для всех i. Поэтому: <math> Y_m = Y_ {m +1} = Y_ {m + 2} = \cdots </math>
- Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если <math>R</math> — кольцо Нётер, то пространство <math>\operatorname{Spec}(R)</math> (спектр <math>R</math>) является нётеровымШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга — 1184 стб. — Стб. 1028.
- Шаблон:Книга
Ссылки
