Русская Википедия:Область целостности
Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).
Эта статья следует соглашению о том, что области целостности имеют мультипликативный нейтральный элемент, обычно обозначаемый как 1, но некоторые авторы не требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент.
Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.
Примеры
- Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел <math>\mathbb Z</math>.
- Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
- Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо <math>\mathbb{Z}[x]</math> многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо <math>\mathbb{R}[x,y]</math> многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
- Множество действительных чисел вида <math>a+b\sqrt{2}</math> есть подкольцо поля <math>\mathbb{R}</math>, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида <math>a+bi</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> целые (множество гауссовых целых чисел).
- Пусть <math>U</math> — связное открытое подмножество комплексной плоскости <math>\mathbb{C}</math>. Тогда кольцо <math>H(U)</math> всех голоморфных функций <math>f:U\rightarrow\mathbb{C}</math> будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
- Если <math>K</math> — коммутативное кольцо, а <math>I</math> — идеал в <math>K</math>, то факторкольцо <math>K/I</math> целостное тогда и только тогда, когда <math>I</math> — простой идеал.
Делимость, простые и неприводимые элементы
Пусть <math>a</math> и <math>b</math> — элементы целостного кольца <math>K</math>. Говорят, что «<math>a</math> делит <math>b</math>» или «<math>a</math> — делитель <math>b</math>» (и пишут <math>a\mid b</math>), тогда и только тогда, когда существует элемент <math>x\in K</math> такой, что <math>ax=b</math>.
Делимость транзитивна: если <math>a</math> делит <math>b</math> и <math>b</math> делит <math>c</math>, то <math>a</math> делит <math>c</math>. Если <math>a</math> делит <math>b</math> и <math>c</math>, то <math>a</math> делит также их сумму <math>b+c</math> и разность <math>b-c</math>.
Для кольца <math>K</math> с единицей делители единицы, то есть элементы <math>a\in K</math>, делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в <math>K</math> имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.
Элементы <math>a</math> и <math>b</math> называются ассоциированными, если <math>a</math> делит <math>b</math> и <math>b</math> делит <math>a</math>. <math>a</math> и <math>b</math> ассоциированны тогда и только тогда, когда <math>a = be</math>, где <math>e</math> — обратимый элемент.
Ненулевой элемент <math>q</math>, не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.
Ненулевой необратимый элемент <math>p</math> называется простым, если из того, что <math>p\mid ab</math>, следует <math>p\mid a</math> или <math>p\mid b</math>. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце <math>\mathbb{Z}</math>, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если <math>p</math> — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал <math>(p)</math> будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.
Свойства
- Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
- Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
- Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
- Шаблон:Нп5 целостных колец тоже будет целостным кольцом.
- Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.
Вариации и обобщения
Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.
Литература
