Русская Википедия:Обобщённая формула Гаусса — Бонне

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Обобщенная формула Гаусса — Бонне — интегральная формула, выражающая эйлерову характеристику замкнутого чётномерного риманова многообразия через его кривизну. Это прямое обобщение формулы Гаусса — Бонне на высшие размерности.

История

Обобщённая формула Гаусса — Бонне была доказана независимо и почти одновременно Вейлем[1] и Аллендорфером[2] для замкнутых римановых многообразий, допускающих изометричные вложения в евклидово пространство. (Идея доказательства состояла в подсчёте степени Гауссова отображения гиперповерхности образованной границей малой трубчатой окрестности данного подмногообразия.) На этот момент не было известно все ли многообразия допускают такие вложения — теорема Нэша о регулярных вложениях была доказана только в 1956 году.

В 1945 году, Черн[3] обобщил формулу на случай всех римановых многообразий.

Формулировка

Пусть <math>M</math> — компактное ориентируемое 2n-мерное риманово многообразие без края, и <math>\Omega</math> — его форма кривизны. Заметим, что форма <math>\Omega</math> может рассматриваться как кососимметричная матрица, чьи компоненты являются 2-формами на <math>M</math>. В частности, <math>\Omega</math> — это матрица над коммутативным кольцом

<math>\bigwedge\nolimits^{\text{чёт}}T^*M.</math>

Поэтому можно посчитать её пфаффиан <math>\operatorname{Pf}(\Omega)</math>, который является 2n-формой.

Обобщенная формула Гаусса — Бонне может быть записана как

<math>\int\limits_M \operatorname{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)</math>,

где <math>\chi(M)</math> обозначает эйлерову характеристику <math>M</math>.

Примеры

  • В размерности 2 формула превращается в обычную формулу Гаусса — Бонне
  • В размерности четыре формулу можно переписать следующим удобным способом:
    <math>\chi(M)=\frac{1}{32\pi^2}\int\limits_M\left(|\mathrm{Rm}|^2-4|\mathrm{Rc}|^2+\mathrm{R}^2\right)d\mu</math>,
где <math>\mathrm{Rm}</math> — это полный тензор кривизны, <math>\mathrm{Rc}</math> — тензор Риччи, и <math>\mathrm{R}</math> — скалярная кривизна.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания


Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Weyl H. On the volume of tubes. Amer J Math, 61: 461–472 (1939)
  2. ↑ Allendoerfer C B. The Euler number of a Riemannian manifold. Amer J Math, 62: 243–248
  3. ↑ Шаблон:Citation
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Обобщённая_формула_Гаусса_—_Бонне&oldid=10497238