Русская Википедия:Обобщённый метод моментов
Обобщённый ме́тод моме́нтов (ОММ; Шаблон:Lang-en) — метод, применяемый в математической статистике и эконометрике для оценки неизвестных параметров распределений и эконометрических моделей, являющийся обобщением классического метода моментов. Метод был предложен Хансеном в 1982 году. В отличие от классического метода моментов количество ограничений может быть больше количества оцениваемых параметров.
Сущность метода
Пусть распределение случайного вектора x зависит от некоторого вектора неизвестных параметров b (количество параметров — k). Пусть также имеются некоторые функции g(x, b) (их количество q не меньше числа оцениваемых параметров), называемые моментными функциями (или просто моментами), для которых из теоретических соображений предполагается, что
<math>m(b)=E[g(x,b)]=0.</math>
Базовая идея метода моментов заключается в использовании в моментных условиях вместо математических ожиданий их выборочные аналоги — выборочные средние
<math>\hat{m}(b)=\overline {g(x,b)},</math>
которые согласно закону больших чисел при достаточно слабых условиях должны асимптотически сходится к математическим ожиданиям. Поскольку количество условий на моменты в общем случае больше количества оцениваемых параметров, то однозначного решения эта система ограничений не имеет.
Обобщённым методом моментов (ОММ) называется оценка минимизирующая положительно определённую квадратичную форму от выборочных условий на моменты, в которых вместо математических ожиданий используются выборочные средние:
<math>\hat {b}_{GMM}=\arg \min_{b}\hat{m}(b)^TW\hat{m}(b),</math>
где W — некоторая симметрическая положительно определённая матрица.
Весовая матрица может быть произвольной (с учётом положительной определённости), однако доказано,Шаблон:Нет АИ что наиболее эффективными являются GMM-оценки с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице моментных функций <math>W=V^{-1}_g</math>. Это так называемый эффективный GMM.
Однако, поскольку на практике эта ковариационная матрица неизвестна, то применяют двухшаговую процедуру (двухшаговый GMM — Хансен, 1982 г.):
Шаг 1. Оцениваются параметры модели с помощью GMM с единичной весовой матрицей.
Шаг 2. По выборочным данным и найденным на первом шаге значениям параметров оценивают ковариационную матрицу моментных функций <math>\hat{V}_g=\overline {g(x,\hat{b})g(x,\hat{b})^T}</math> и используют полученную оценку в эффективном GMM.
Эту двухшаговую процедуру можно продолжить (итеративный GMM): используя оценки параметров модели на втором шаге ковариационная матрица моментов оценивается снова и повторно применяется эффективный GMM и т. д. итеративно до достижения требуемой точности.
Также возможен подход к численной минимизации целевой функции <math> \hat {m}^T(b)\hat{V}^{-1}_g(b)\hat {m}(b)</math> по неизвестным параметрам <math>b</math>. Тем самым одновременно оцениваются и параметры и ковариационная матрица. Это так называемый непрерывно обновляемый (Continuously Updated) GMM (Хансен, Хитон, Ярон, 1996 год).
Свойства метода
Оценки обобщённого метода моментов при достаточно слабых условиях являются состоятельными, асимптотически нормальными, а оценки эффективного GMM являются также асимптотически эффективными. Можно показать, что
- <math>\sqrt{n}(\hat b_{GMM} - b) \xrightarrow{d} N(0, V_{b}).</math>
В общем случае
<math>V_{b}=(G^TWG)^{-1}G^TW V_g WG(G^TWG)^{-1}</math>
где G-математическое ожидание матрицы первых производных g по параметрам. В случае эффективного GMM формула ковариационной матрицы существенно упрощается:
<math>V_b=G^TV^{-1}_gG.</math>
J-тест
При использовании GMM важным тестом является тест на сверхидентифицирующие ограничения (J-тест). Нулевая гипотеза заключается в том, что условия (ограничения) на моменты имеют место (то есть предположения модели верны). Альтернативная — что они неверны.
Статистика теста равна значению целевой функции GMM, умноженному на количество наблюдений. При нулевой гипотезе
<math>J=n \hat {m}^T(\hat{b})\hat{V}^{-1}_g\hat {m}(\hat{b}) ~\xrightarrow {d}~\chi^2(q-k).</math>
Таким образом, если значения статистики больше критического значения распределения <math>\chi^2(q-k)</math> при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются (модель неадекватна), в противном случае модель признается адекватной.
См. также
- Метод моментов
- Метод наименьших квадратов
- Метод инструментальных переменных
- Метод максимального правдоподобия
Литература
