Русская Википедия:Обобщённый собственный вектор
Обобщённый собственный вектор <math>n\times n</math> матрицы <math>A</math> — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторовШаблон:Sfn.
Пусть <math>V</math> будет <math>n</math>-мерным векторным пространством. Пусть <math>\phi</math> будет линейным отображением в <math>L(V)</math>, множества всех линейных отображений из <math>V</math> в себя. Пусть <math>A</math> будет матричным представлением отображения <math>\phi</math> для некоторого упорядоченного базиса.
Может не существовать полного набора <math>n</math> линейно независимых собственных векторов матрицы <math>A</math>, которые образуют полный базис для <math>V</math>. То есть, матрица <math>A</math> не может быть диагонализированаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Это происходит, когда алгебраическая кратность по меньшей мере одного собственного значения <math>\lambda_i</math> больше, чем его геометрическая кратность (степень вырожденности матрицы <math>(A-\lambda_i E)</math>, или размерность его ядра). В этом случае <math>\lambda_i</math> называется Шаблон:Не переведено 5, а сама матрица <math>A</math> называется Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.
Обобщённый собственный вектор <math>x_i</math>, соответствующий <math>\lambda_i</math>, вместе с матрицей <math>(A-\lambda_i E)</math> образует цепочку Жордана линейно независимых обобщённых собственных векторов, которые образуют базис для инвариантного подпространства пространства <math>V</math>Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Используя обобщённые собственные векторы, множество линейно независимых собственных векторов матрицы <math>A</math> может быть расширено, если необходимо, до полного базиса для <math>V</math>Шаблон:Sfn. Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы» <math>J</math> в жордановой нормальной форме, подобной матрице <math>A</math>, что применяется при вычислении определённых матричных функций от <math>A</math>Шаблон:Sfn. Матрица <math>J</math> также применяется при решении системы линейных дифференциальных уравнений <math>\mathbf x' = A \mathbf x</math>, где <math>A</math> не обязательно диагонализируемаШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Размерность обобщённого собственного пространства, соответствующего заданному собственному значению <math>\lambda</math>, равна алгебраической кратности <math>\lambda</math>Шаблон:Sfn.
Обзор и определение
Имеется несколько эквивалентных путей определения обычного собственного вектораШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Для наших целей собственным вектором <math>\mathbf u</math>, ассоциированным с собственным значением <math>\lambda</math> <math>n \times n</math> матрицы <math>A</math>, является ненулевой вектор, для которого <math>(A - \lambda E) \mathbf u = \mathbf 0</math>, где <math>E</math> является <math>n \times n</math> единичной матрицей, а <math>\mathbf 0</math> является нулевым вектором длины <math>n</math>Шаблон:Sfn. То есть, <math>\mathbf u</math> является ядром преобразования <math>(A - \lambda E)</math>. Если <math>A</math> имеет <math>n</math> линейно независимых собственных векторов, то <math>A</math> подобна диагональной матрице <math>D</math>. То есть, существует невырожденная матрица <math>M</math>, такая что <math>A</math> диагонализируема с помощью преобразование подобия <math>D = M^{-1}AM</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Матрица <math>D</math> называется Шаблон:Не переведено 5 матрицы <math>A</math>. Матрица <math>M</math> называется Шаблон:Не переведено 5 матрицы <math>A</math>Шаблон:Sfn. Диагонализируемые матрицы представляют определённый интерес, поскольку матричные функции от неё могут быть легко вычисленыШаблон:Sfn.
С другой стороны, если матрица <math>A</math> не имеет <math>n</math> линейно независимых собственных векторов, ассоциированных с ней, то <math>A</math> не диагонализируемаШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Определение: Вектор <math>\mathbf x_m</math> является обобщённым собственным вектором ранга <math>m</math> матрицы <math>A</math>, соответствующим собственному значению <math>\lambda</math>, если:
- <math>(A - \lambda E)^m \mathbf x_m = \mathbf 0~,</math>
но
- <math>(A - \lambda E)^{m-1} \mathbf x_m \ne \mathbf 0 ~.</math> Шаблон:Sfn.
Обобщённый собственный вектор ранга 1 является обычным собственным векторомШаблон:Sfn. Любая <math>n \times n</math> матрица <math>A</math> имеет <math>n</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов, ассоциированных с ней, и можно показать, что она подобна «почти диагональной» матрице <math>J</math> в жордановой нормальной формеШаблон:Sfn. То есть, существует обратимая матрица <math>M</math>, такая что <math>J = M^{-1}AM</math>Шаблон:Sfn. Матрица <math>M</math> в этом случае называется Шаблон:Не переведено 5 матрицы <math>A</math>Шаблон:Sfn. Если <math>\lambda</math> является собственным значением с алгебраической кратностью <math>\mu</math>, то <math>A</math> будет иметь <math>\mu</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов, соответствующих <math>\lambda</math>Шаблон:Sfn. Эти результаты, в свою очередь, предоставляют метод вычисления определённых матричных функций от <math>A</math>Шаблон:Sfn.
Шаблон:AnchorПримечание: Для того, что бы <math>n \times n</math> матрица <math>A</math> над полем <math>F</math> могла быть выражена в жордановой нормальной форме, все собственные значения матрицы <math>A</math> должны быть в <math>F</math>. То есть, характеристический многочлен <math>f(x)</math> должен разлагаться полностью на линейные множители. Альтернативный пример: если матрица <math>A</math> состоит из вещественных элементов, может оказаться, что собственные значения и компоненты собственных векторов будут содержать мнимые значенияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Линейная оболочка всех обобщённых собственных векторов для данного <math> \lambda </math> образует обобщённое собственное пространство для <math> \lambda </math>Шаблон:Sfn.
Примеры
Несколько примеров для иллюстрации концепции обобщённых собственных векторов. Некоторые детали будут описаны ниже.
Пример 1
Представленный ниже тип матрицы часто используется в учебникахШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Возьмём матрицу
- <math> A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}~. </math>
Тогда имеется только одно собственное значение, <math> \lambda = 1</math>, и его алгебраическая кратность <math>m = 2</math>.
Заметим, что эта матрица имеет жорданову нормальную форму, но не диагональна. Следовательно, эта матрица не диагонализируема. Поскольку наддиагональ содержит один элемент, имеется один обобщённый собственный вектор ранга, большего 1 (заметим, что векторное пространство <math> V </math> имеет размерность 2, так что может быть не более одного обобщённого собственного вектора ранга, большего 1). Можно также вычислить размерность ядра матрицы <math> A - \lambda E </math>, которая равняется <math>p = 1</math>, тогда имеется <math>m - p = 1</math> обобщённых собственных векторов ранга, большего 1.
Обыкновенный собственный вектор <math> \mathbf v_1=\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}</math> вычисляется стандартным методом (см. статью Собственный вектор). Используя этот собственный вектор определяется обобщённый собственный вектор <math> \mathbf v_2 </math> путём решения уравнения:
- <math> (A-\lambda E) \mathbf v_2 = \mathbf v_1~. </math>
Выписывая значения:
- <math> \left(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}~.</math> Это выражение упрощается до:
- <math> v_{22}= 1~. </math>
Элемент <math>v_{21}</math> не имеет ограничений. Обобщённый собственный вектор ранга 2 равен тогда <math> \mathbf v_2=\begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix}</math>, где <math>a</math> может иметь любое скалярное значение. Выбор <math>a = 0</math> является, как правило, простейшим.
При этом:
- <math> (A-\lambda E) \mathbf v_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf v_1~,</math>
так что <math> \mathbf v_2 </math> является обобщённым собственным вектором,
- <math> (A-\lambda E) \mathbf v_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf 0~,</math>
так что <math> \mathbf v_1 </math> является обычным собственным вектором, а <math> \mathbf v_1</math> и <math> \mathbf v_2</math> являются линейно независимыми, и, следовательно, образуют базис для векторного пространства <math> V </math>.
Пример 2
Следующий пример несколько сложнее примера 1, но также небольшого размераШаблон:Sfn. Матрица
- <math>A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 2 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 2 \end{pmatrix}</math>
имеет собственные значения <math> \lambda_1 = 1 </math> и <math> \lambda_2 = 2 </math> с алгебраическими кратностями <math> \mu_1 = 2 </math> и <math> \mu_2 = 3 </math>, но геометрические кратности будут равны <math> \gamma_1 = 1 </math> и<math> \gamma_2 = 1</math>.
Обобщённое собственное подпространство матрицы <math>A</math> вычисляется ниже. <math> \mathbf x_1 </math> является обычным собственным вектором, ассоциированным с <math> \lambda_1 </math>. <math> \mathbf x_2 </math> является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с <math> \lambda_1 </math>. <math> \mathbf y_1 </math> является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с <math> \lambda_2 </math>. <math> \mathbf y_2 </math> и <math> \mathbf y_3 </math> являются обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с <math> \lambda_2 </math>.
- <math>(A-1 E) \mathbf x_1
= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf 0 ~,</math>
- <math>(A - 1 E) \mathbf x_2
= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} = \mathbf x_1 ~,</math>
- <math>(A - 2 E) \mathbf y_1
= \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf 0 ~,</math>
- <math>(A - 2 E) \mathbf y_2 = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} = \mathbf y_1 ~,</math>
- <math>(A - 2 E) \mathbf y_3 = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\ 15 & 10 & 6 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf y_2 ~.</math>
Получаем базис для каждого из обобщённых собственных пространств матрицы <math>A</math>. Вместе линейные комбинации двух цепочек обобщённых собственных векторов заполняют пространство всех 5-мерных векторов-столбцов:
- <math>
\left\{ \mathbf x_1, \mathbf x_2 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45 \end{pmatrix} \right\}~, \left\{ \mathbf y_1, \mathbf y_2, \mathbf y_3 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}~. </math>
«Почти диагональная» матрица <math>J</math> в жордановой нормальной форме, подобная <math>A</math>, получается следующим образом:
- <math>
M = \begin{pmatrix} \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf y_1 & \mathbf y_2 & \mathbf y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &0& 0 \\ 3 & -15 & 0 &0& 0 \\ -9 & 30 & 0 &0& 1 \\ 9 & -1 & 0 &3& -2 \\ -3 & -45 & 9 &0& 0 \end{pmatrix}~,</math>
- <math>J = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}~, </math>
где <math>M</math> является Шаблон:Не переведено 5 матрицы <math>A</math>, столбцы матрицы <math>M</math> являются Шаблон:Не переведено 5 матрицы <math>A</math>, и <math>AM = MJ</math>Шаблон:Sfn.
Цепочки Жордана
Определение: Пусть <math>\mathbf x_m</math> будет обобщённым собственным вектором ранга <math>m</math>, соответствующим матрице <math>A</math> и собственному значению <math>\lambda</math>. Цепочка, образованная вектором <math>\mathbf x_m</math> — это набор векторов <math>\left\{ \mathbf x_m, \mathbf x_{m-1}, \dots , \mathbf x_1 \right\}</math>, определённых выражением: Шаблон:EF Тогда: Шаблон:EF Вектор <math>\mathbf x_j </math>, заданный формулой (Шаблон:Eqref), является обобщённым собственным вектором ранга <math>j</math>, соответствующим собственному значению <math>\lambda</math>. Цепочка является набором линейно независимых векторовШаблон:Sfn.
Канонический базис
Шаблон:Основная статья Определение: Набор <math>n</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов является каноническим базисом, если набор полностью состоит из цепочек Жордана.
Таким образом, если обобщённый собственный вектор ранга <math>m</math> находится в каноническом базисе, то <math>m - 1</math> векторов <math> \mathbf x_{m-1}, \mathbf x_{m-2}, \ldots , \mathbf x_1 </math>, находящихся в цепочке Жордана, образованной <math> \mathbf x_m </math>, также находятся в каноническом базисеШаблон:Sfn.
Пусть <math> \lambda_i </math> будет собственным значением матрицы <math>A</math> с алгебраической кратностью <math> \mu_i </math>. Найдём (матричные) ранги матриц <math> (A - \lambda_i E), (A - \lambda_i E)^2, \ldots , (A - \lambda_i E)^{m_i} </math>. Целое число <math>m_i</math> определяется как первое число, для которого <math> (A - \lambda_i R)^{m_i} </math> имеет ранг <math>n - \mu_i </math> (здесь <math>n</math> равно числу строк или столбцов матрицы <math>A</math>, то есть, матрица <math>A</math> имеет размер <math>n \times n</math>).
Далее определим:
- <math> \rho_k = \operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^{k-1} - \operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^k \qquad (k = 1, 2, \ldots , m_i)~.</math>
Переменная <math> \rho_k </math> обозначает число линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга <math>k</math>, соответствующих собственному значению <math> \lambda_i </math>, которые появятся в каноническом базисе матрицы <math>A</math>. При этом:
- <math> \operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^0 = \operatorname{rank}(E) = n </math>Шаблон:Sfn.
Вычисление обобщённых собственных векторов
В предыдущих разделах представлены техники получения <math>n</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов канонического базиса для векторного пространства <math>V</math>, ассоциированного с <math>n \times n</math> матрицей <math>A</math>. Эти техники могут быть собраны в процедуре:
- Решаем характеристический многочлен матрицы <math>A</math>, чтобы получить собственные значения <math> \lambda_i </math> и их алгебраические кратности <math> \mu_i </math>;
- Для каждого <math> \lambda_i </math>:
- Определяем <math>n - \mu_i</math>;
- Определяем <math>m_i</math>;
- Определяем <math>\rho_k</math> для <math>(k = 1, \ldots , m_i)</math>;
- Определяем каждую жорданову цепь для <math>\lambda_i</math>.
Пример 3
Матрица
- <math>
A = \begin{pmatrix}
5 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4
\end{pmatrix} </math>
имеет собственное значение <math>\lambda_1 = 5</math> с алгебраической кратностью <math>\mu_1 = 3</math> и собственное значение <math>\lambda_2 = 4</math> с алгебраической кратностью <math>\mu_2 = 1</math>, при этом <math>n=4</math>. Для каждого <math>\lambda_1</math> выполняется: <math>n - \mu_1 = 4 - 3 = 1</math>.
- <math>
(A - 5E) = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}~, \qquad \operatorname{rank}(A - 5E) = 3~. </math>
- <math>
(A - 5 E)^2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}~, \qquad \operatorname{rank}(A - 5E)^2 = 2~. </math>
- <math>
(A - 5E)^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 14 \\
0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}~, \qquad \operatorname{rank}(A - 5E)^3 = 1~. </math>
Первое целое <math>m_1</math>, для которого <math>(A - 5E)^{m_1}</math> имеет ранг <math>n - \mu_1 = 1</math>, равно <math>m_1 = 3</math>.
Далее определяем:
- <math> \rho_3 = \operatorname{rank}(A - 5E)^2 - \operatorname{rank}(A - 5E)^3 = 2 - 1 = 1 ~,</math>
- <math> \rho_2 = \operatorname{rank}(A - 5E)^1 - \operatorname{rank}(A - 5E)^2 = 3 - 2 = 1 ~,</math>
- <math> \rho_1 = \operatorname{rank}(A - 5E)^0 - \operatorname{rank}(A - 5E)^1 = 4 - 3 = 1 ~.</math>
Следовательно, будет три линейно независимых обобщённых собственных вектора, по одному из рангов 3, 2 и 1. Поскольку <math>\lambda_1</math> соответствует одной цепи из трёх линейно независимых обобщённых собственных векторов, существует обобщённый собственный вектор <math> \mathbf x_3 </math> ранга 3, соответствующий <math>\lambda_1</math>, такой что: Шаблон:EF но: Шаблон:EF Выражения (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref) представляют линейную систему, которую можно решить относительно <math> \mathbf x_3 </math>. Пусть
- <math>
\mathbf x_3 = \begin{pmatrix} x_{31} \\ x_{32} \\ x_{33} \\ x_{34} \end{pmatrix}~. </math>
Тогда:
- <math>
(A - 5E)^3 \mathbf x_3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{31} \\ x_{32} \\ x_{33} \\ x_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 x_{34} \\ -4 x_{34} \\
3 x_{34} \\
- x_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} </math>
и
- <math>
(A - 5E)^2 \mathbf x_3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 2 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{31} \\ x_{32} \\ x_{33} \\ x_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 x_{33} - 8 x_{34} \\
4 x_{34} \\
-3 x_{34} \\
x_{34}
\end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}~. </math>
Тогда, чтобы удовлетворить условиям (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref), необходимо иметь <math>x_{34} = 0</math> и <math>x_{33} \ne 0</math>. Никакие ограничения не накладываются на <math>x_{31}</math> и <math>x_{32}</math>. Выбрав <math>x_{31} = x_{32} = x_{34} = 0, x_{33} = 1</math>, получим:
- <math>
\mathbf x_3 = \begin{pmatrix} 0 \\
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}~, </math>
как обобщённый собственный вектор ранга 3, соответствующий <math> \lambda_1 = 5 </math>. Можно получить бесконечно много других обобщённых собственных векторов ранга 3, выбрав другие значения <math>x_{31}</math>, <math>x_{32}</math> и <math>x_{33}</math> при <math>x_{33} \ne 0</math>. Сделанный выбор, однако, самый простойШаблон:Sfn.
Теперь, используя равенства (Шаблон:Eqref), получим <math> \mathbf x_2 </math> и <math> \mathbf x_1 </math> как обобщённые собственные векторе ранга 2 и 1 соответственно, где:
- <math>
\mathbf x_2 = (A - 5E) \mathbf x_3 = \begin{pmatrix} -2 \\
2 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} </math>
и
- <math>
\mathbf x_1 = (A - 5E) \mathbf x_2 = \begin{pmatrix}
2 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}~. </math>
Некратное собственное значение <math>\lambda_2 = 4</math> может быть вычислено с помощью стандартных техник и оно соответствует обычному собственному вектору:
- <math>
\mathbf y_1 = \begin{pmatrix} -14 \\
4 \\ -3 \\ 1
\end{pmatrix}~. </math>
Каноническим базисом матрицы <math>A</math> будет:
- <math>
\left\{ \mathbf x_3, \mathbf x_2, \mathbf x_1, \mathbf y_1 \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -14 \\ 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}~. </math>
<math> \mathbf x_1, \mathbf x_2 </math> и <math> \mathbf x_3 </math> будут обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с <math> \lambda_1 </math>, в то время как <math> \mathbf y_1 </math> является обычным собственным вектором, ассоциированным с <math> \lambda_2 </math>.
Это довольно простой пример. В общем случае количества <math>\rho_k</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга <math>k</math> не всегда будут одинаковыми. То есть, могут быть цепочки с разными длинами соответствующих собственных значенийШаблон:Sfn.
Обобщённая модальная матрица
Шаблон:Основная статья Пусть <math>A</math> является <math>n \times n</math> матрицей. Обобщённая модальная матрица <math>M</math> для <math>A</math> — это <math>n \times n</math> матрица, столбцы которой, рассматриваемые как вектора, образуют канонический базис матрицы <math>A</math> и появляются в <math>M</math> по следующим правилам:
- Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (то есть, длиной в один вектор) появляются в первом столбце матрицы <math>M</math>.
- Все вектора одной цепочки появляются вместе в смежных столбцах матрицы <math>M</math>.
- Каждая цепочка появляется в <math>M</math> в порядке увеличения ранга (то есть, обобщённый собственный вектор ранга 1 появляется до обобщённого собственного вектора ранга 2 той же цепочки, этот вектор появляется до обобщённого собственного вектора ранга 3 той же цепочки, и т. д.)Шаблон:Sfn.
Жорданова нормальная форма
Шаблон:Основная статья Пусть <math>V</math> является <math>n</math>-мерным векторным пространством. Пусть <math>\phi</math> будет линейным отображением из <math>L(V</math>), множества всех линейных отображений из <math>V</math> в себя. Пусть <math>A</math> будет матричным представлением <math>\phi</math> для некоторого упорядоченного базиса. Можно показать, что если характеристический многочлен <math>f(\lambda)</math> матрицы <math>A</math> разлагается на линейные множители, так что <math>f(\lambda)</math> имеет вид:
- <math> f(\lambda) = \pm (\lambda - \lambda_1)^{\mu_1}(\lambda - \lambda_2)^{\mu_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{\mu_r} ~,</math>
где <math> \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_r </math> являются различными собственными значениями <math>A</math>, то каждое <math>\mu_i</math> является алгебраической кратностью соответствующего собственного значения <math>\lambda_i</math>, а <math>A</math> подобна матрице <math>J</math> в жордановой нормальной форме, где каждая <math>\lambda_i</math> появляется <math>\mu_i</math> раз последовательно на диагонали. При этом элемент непосредственно над каждой <math>\lambda_i</math> (то есть, на наддиагонали) равен либо 0, либо 1 — элементы, выше первого вхождения каждой <math>\lambda_i</math> всегда равны 0; все другие элементы на наддиагонали равны 1. При этом все другие элементы вне диагонали и наддиагонали равны 0. Матрица <math>J</math> наиболее близка к диагонализации матрицы <math>A</math>. Если матрица <math>A</math> диагонализируема, все элементы выше диагонали равны нулю Шаблон:Sfn. Заметим, что в некоторых книгах единицы располагаются на поддиагонали, то есть, непосредственно под главной диагонали, а не на наддиагонали. Собственные значения при этом остаются на главной диагоналиШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Любая <math>n \times n</math> матрица <math>A</math> подобна матрице <math>J</math> в жордановой нормальной форме, которая получается посредством преобразований подобия <math> J = M^{-1}AM </math>, где <math>M</math> является обобщённой модальной матрицей матрицы <math>A</math>Шаблон:Sfn (См. Примечание выше).
Пример 4
Найдём матрицу в жордановой нормальной форме, которая подобна:
- <math>
A = \begin{pmatrix}
0 & 4 & 2 \\
-3 & 8 & 3 \\
4 & -8 & -2
\end{pmatrix}~. </math>
Решение: Характеристическое уравнение матрицы <math>A</math> — <math>(\lambda - 2)^3 = 0</math>, следовательно, <math>\lambda = 2</math> является собственным значением с алгебраической кратностью три. Следуя процедуре из предыдущего раздела, находим что:
- <math> \operatorname{rank}(A - 2E) = 1</math>
и
- <math>\operatorname{rank}(A - 2E)^2 = 0 = n - \mu ~.</math>
Тогда <math>\rho_2 = 1</math> и <math>\rho_1 = 2</math>, откуда следует, что канонический базис матрицы <math>A</math> будет содержать один линейно независимый обобщённый собственный вектор ранга 2 и два линейно независимых обобщённых собственных вектора ранга 1, или, что эквивалентно: одну цепочку из двух векторов <math> \left\{ \mathbf x_2, \mathbf x_1 \right\} </math> и одну цепочку векторов <math> \left\{ \mathbf y_1 \right\} </math>. Обозначив <math> M = \begin{pmatrix} \mathbf y_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 \end{pmatrix} </math>, получим:
- <math>
M = \begin{pmatrix}
2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & 1
\end{pmatrix} </math>
и
- <math>
J = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}~, </math>
где <math>M</math> является обобщённой модальной матрицей матрицы <math>A</math>, столбцы матрицы <math>M</math> являются каноническим базисом матрицы <math>A</math>, и <math>AM = MJ</math>Шаблон:Sfn. Поскольку обобщённые собственные векторы сами по себе не единственны, и поскольку некоторые из столбцов матриц <math>M</math> и <math>J</math> могут быть обменены, то отсюда следует, что как матрица <math>M</math>, так и <math>J</math> не уникальныШаблон:Sfn.
Пример 5
В Примере 3 был найден канонический базис линейно независимых обобщённых собственных векторов матрицы <math>A</math>. Обобщённая модальная матрица матрицы <math>A</math> равна:
- <math>
M = \begin{pmatrix} \mathbf y_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & 2 & -2 & 0 \\
4 & 0 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}~.</math>
Матрица в жордановой нормальной форме, подобная матрице <math>A</math>, равна:
- <math>J = \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5
\end{pmatrix}~, </math>
так что <math>AM = MJ</math>.
Приложения
Матричные функции
Шаблон:Основная статья Три главные операции, которые можно проводить с квадратными матрицами — это сложение матриц, умножение на скаляр и матричное умножениеШаблон:Sfn. Это в точности те операции, которые нужны для определения полиномиальной функции от <math>n \times n</math> матрицы <math>A</math>Шаблон:Sfn. Многие функции могут быть представлены в виде ряда Маклорена, Следовательно, можно определить более общие функции от матрицШаблон:Sfn. Если матрица <math>A</math> диагонализируема, то есть:
- <math> D = M^{-1}AM ~,</math>
с
- <math>
D = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}~, </math>
тогда:
- <math>
D^k = \begin{pmatrix}
\lambda_1^k & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2^k & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k
\end{pmatrix}~, </math>
и суммирование ряда Маклорена функции <math>A</math> сильно упрощается Шаблон:Sfn. Например, для получения любой степени k матрицы <math>A</math>, нужно лишь вычислить <math>D^k</math>, умножив затем слева матрицу <math>D^k</math> на <math>M</math>, а затем справа на <math>M^{-1}</math>Шаблон:Sfn.
С помощью обобщённых собственных векторов можно получить жорданову нормальную форму матрицы <math>A</math> и эти результаты можно обобщить для получения прямого метода вычисления функций от недиагонализируемых матрицШаблон:Sfn (См. Разложение Жордана.)
Дифференциальные уравнения
Шаблон:Основная статья Рассмотрим задачу решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений: Шаблон:EF
где:
- <math>
\mathbf x = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{pmatrix}~, \quad \mathbf x' = \begin{pmatrix} x_1'(t) \\ x_2'(t) \\ \vdots \\ x_n'(t) \end{pmatrix}~, </math> Шаблон:Spaces и Шаблон:Spaces <math> A = (a_{ij}) ~.</math>
Если матрица <math>A</math> диагонализируема, так что <math> a_{ij} = 0 </math> для <math>i \ne j</math>, система (Шаблон:Eqref) сводится к системе из <math>n</math> уравнений, которые принимают вид: Шаблон:EF
В этом случае общее решение задаётся выражениями:
- <math> x_1 = k_1 e^{a_{11}t} </math>
- <math> x_2 = k_2 e^{a_{22}t} </math>
- <math> \vdots </math>
- <math> x_n = k_n e^{a_{nn}t} ~.</math>
В общем случае следует диагонализировать матрицу <math>A</math> и свести систему (Шаблон:Eqref) к системе вида (Шаблон:Eqref) как указано ниже. Если матрица <math>A</math> диагонализируема, имеем <math> D = M^{-1}AM </math>, где <math>M</math> является модальной матрицей матрицы <math>A</math>. После подстановки <math> A = MDM^{-1} </math> равенство (Шаблон:Eqref) принимает вид <math> M^{-1} \mathbf x' = D(M^{-1} \mathbf x) </math>, или: Шаблон:EF
где: Шаблон:EF
Решением уравнения (Шаблон:Eqref) будет:
- <math> y_1 = k_1 e^{\lambda_1 t} </math>
- <math> y_2 = k_2 e^{\lambda_2 t} </math>
- <math> \vdots </math>
- <math> y_n = k_n e^{\lambda_n t} ~.</math>
Решение <math> \mathbf x </math> системы (Шаблон:Eqref) получается тогда с помощью отношения (Шаблон:Eqref)Шаблон:Sfn.
С другой стороны, если матрица <math>A</math> не диагонализируема, выберем в качестве матрицы <math>M</math> обобщённую модальную матрицу для матрицы <math>A</math>, так что <math> J = M^{-1}AM </math> является жордановой нормальной формой матрицы <math>A</math>. Система <math> \mathbf y' = J \mathbf y </math> имеет вид: Шаблон:EF
где значениями <math> \lambda_i </math> являются собственные значения с главной диагонали матрицы <math>J</math>, а значениями <math>\epsilon_i</math> будут единицы и нули с наддиагонали матрицы <math>J</math>. Систему (Шаблон:Eqref) часто решить проще, чем (Шаблон:Eqref), например, по следующей схеме:
Решая последнее равенство в (Шаблон:Eqref) относительно <math>y_n</math> получаем <math>y_n = k_n e^{\lambda_n t} </math>. Подставляя полученное значение <math>y_n</math> в предпоследнее равенство в (Шаблон:Eqref), решаем его относительно <math>y_{n-1}</math>. Продолжая этот процесс, пройдём по всем равенствам (Шаблон:Eqref) от последнего до первого, решая тем самым всю систему уравнений. Решение <math> \mathbf x </math> тогда получается из отношений (Шаблон:Eqref)Шаблон:Sfn.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Перевод Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
Шаблон:Векторы и матрицы Шаблон:Разделы математики
