Русская Википедия:Обратимый элемент

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Не путать

Обратимый элемент — элемент кольца с единицей, для которого существует обратный элемент относительно умножения. Другое название — делитель единицы. Также, в основном в переводах с английского, встречается название единица, что может вызывать путаницу с единичным элементом (в английских источниках используются два разных термина: unit element и Identity element[1]).

Иначе говоря, элемент кольца <math>a</math> называется обратимым, если существует элемент <math>b</math>, такой что

<math>ab=ba=e,</math>

где <math>e</math> — единичный элемент кольца.

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой обратимых элементов (реже группой единиц). Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Ассоциированные элементы

Если <math>a</math> — обратимый элемент, то элементы, представимые в виде <math>a\cdot x</math> или <math>x\cdot a</math>, называются ассоциированными с <math>x</math>.

Обычно термин делитель единицы и понятие ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.

Группа единиц

Обратимые элементы кольца R образуют группу U(R) по умножению, группу единиц кольца R. Другие общепринятые обозначение — R×, R* и E(R) (от немецкого Einheit).

В коммутативном кольце R группа единиц U(R) действует на R посредством умножения. Орбиты этих действий называются множествами ассоциированных элементов; другими словами, имеется отношение эквивалентности ~ на R, называемое ассоциированностью, где

r ~ s

означает, что существует единица u, такая, что r = us.

Можно показать, что U — это функтор из категории колец в категорию групп: каждый гомоморфизм колец f : RS порождает гомоморфизм групп U(f) : U(R) → U(S), поскольку f отображает единицы в единицы.

Кольцо R является телом тогда и только тогда, когда U(R) = R \ {0}.

Примеры

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Algebra-stub