Русская Википедия:Обратная задача Галуа

Шаблон:Unsolved Обратная задача Галуа — открытая проблема теории Галуа, поставленная в начале XIX века: является ли любая конечная группа группой Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел <math>\Q</math>.^[1].

Есть несколько групп перестановок, для которых известны Шаблон:Не переведено 5, которые определяют все алгебраические расширения группы <math>\Q</math>, имеющие конкретную группу в качестве группы Галуа. В эти группы входят все группы со степенью, не превосходящей Шаблон:Math. Существуют также группы, для которых известно, что для них нет многочленов общего вида, такие как циклическая группа порядка Шаблон:Math.

Более общо, пусть Шаблон:Mvar — заданная конечная группа и пусть Шаблон:Mvar — поле. Тогда вопрос стоит так: существует ли расширение Галуа поля Шаблон:Math, такое, что группа Галуа расширения изоморфна группе Шаблон:Mvar. Говорят, что группа Шаблон:Mvar реализуема над Шаблон:Mvar, если такое поле Шаблон:Mvar существует.

Частичные результаты

Имеется большое количество детальной информации о частных случаях. Известно, что любая конечная группа реализуема над любым Шаблон:Не переведено 5 от одной переменной над комплексными числами <math>\Complex</math>, и, более обще, над полями функций от одной переменной над любым алгебраически замкнутым полем с нулевой характеристикой. Игорь Ростиславович Шафаревич показал, что любая конечная разрешимая группа реализуема над <math>\Q</math>Шаблон:Sfn. Известно также, что любая спорадическая группа, за исключением, возможно, группы Матьё Шаблон:Math, реализуемы над <math>\Q</math>Шаблон:Sfn.

Давид Гильберт показал, что этот вопрос связан с Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Mvar:

Если Шаблон:Mvar является расширением <math>\Q</math>, в котором Шаблон:Mvar действует как группа автоморфизмов, а Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Math^[2] рационально над <math>\Q</math>, то Шаблон:Mvar реализуема над <math>\Q</math>.

Здесь рациональное означает, что расширение является чисто трансцендентным расширением поля <math>\Q</math>, генерируемое алгебраически независимым множеством. Этот критерий, например, можно использовать, чтобы показать, что все симметрические группы реализуемы.

По этому вопросу выпущено много детальных исследований, хотя вопрос так и не решён в общем виде. Некоторые из этих работ основаны на построении Шаблон:Mvar геометрически как накрытие Галуа проективной прямой в терминах алгебры, начиная с расширения поля <math>\Q(t)</math> рациональных функций от неизвестной Шаблон:Mvar. После этого применяется Шаблон:Не переведено 5 для уточнения Шаблон:Mvar, чтобы сохранить группу Галуа.

Известно, что все группы перестановок степени 16 или меньше реализуемы над <math>\Q</math>^[3], а вот группа PSL(2,16):2 семнадцатой степени не реализуема^[4].

Известно, что все 13 неабелевых простых групп, меньших PSL(2,25) (с порядком 7800), реализуемы над <math>\Q</math>Шаблон:Sfn.

Простой пример: циклические группы

Можно, используя классические результаты, построить явно многочлен, группа Галуа которого над полем <math>\Q</math> является циклической группой <math>\Z/n\Z</math> для любого положительного целого Шаблон:Mvar. Чтобы это сделать, выберем простое число Шаблон:Mvar, такое что Шаблон:Math. Это сделать можно согласно теореме Дирихле. Пусть <math>\Q(\mu)</math> будет круговым расширением поля <math>Q</math>, которое генерируется элементом Шаблон:Mvar, где Шаблон:Mvar — примитивный p-ый корень из единицы. Группа Галуа поля является <math>\Q(\mu)/\Q</math> циклической и имеет порядок Шаблон:Math.

Поскольку Шаблон:Mvar делит Шаблон:Math, группа Галуа имеет циклическую подгруппу Шаблон:Mvar порядка Шаблон:Math. Из основной теоремы теории Галуа следует, что соответствующее фиксированное поле <math>F = \Q(\mu)^H</math> имеет группу Галуа <math>\Z/n\Z</math> над <math>\Q</math>. Путём взятия подходящих сумм сопряжений Шаблон:Mvar с последующим построением Шаблон:Не переведено 5 можно найти элемент Шаблон:Mvar поля Шаблон:Mvar, который генерирует Шаблон:Mvar над <math>\Q</math>, и вычислить его минимальный многочлен.

Этот метод можно расширить для покрытия всех конечных абелевых групп, поскольку любая такая группа появляется, фактически, как факторгруппа группы Галуа некоторого кругового расширения поля <math>\Q</math>. (Это утверждение не следует путать с теоремой Кронекера — Вебера, которая существенно глубже.)

Пример: циклическая группа третьего порядка

Для <math>n = 3</math> мы можем взять <math>p = 7</math>. Тогда группа <math>Gal(\Q(\mu)/\Q)</math> является циклической и имеет порядок 6. Возьмём генератор Шаблон:Mvar этой группы, который переводит Шаблон:Mvar в <math>\mu^3</math>. Нас интересует подгруппа <math>H = \{1, \eta^3\}</math> второго порядка. Рассмотрим элемент <math>\alpha = \mu + \eta^3(\mu)</math>. По построению Шаблон:Mvar оставляется на месте подгруппой Шаблон:Mvar и имеет только три сопряжённых элемента над <math>\Q</math>:

<math>\alpha = \eta^0(\alpha) = \mu + \mu^6</math>,

<math>\beta = \eta^1(\alpha) = \mu^3 + \mu^4</math>,

<math>\gamma = \eta^2(\alpha) = \mu^2 + \mu^5</math>.

Используя тождество

<math>1 + \mu + \mu^2 + \dots + \mu^6 = 0</math>,

можно найти, что

<math>\alpha + \beta + \gamma = -1</math>,

<math>\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -2</math>,

<math>\alpha\beta\gamma = 1</math>.

Таким образом, Шаблон:Mvar является корнем многочлена

<math>(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = x^3 + x^2 - 2x - 1</math>,

Который, следовательно, имеет группу Галуа <math>\Z/3\Z</math> над <math>\Q</math>.

Симметричные и знакопеременные группы

Гильберт показал, что все симметричные и знакопеременные группы представляются как группы Галуа многочленов с рациональными коэффициентами.

Многочлен <math>x^n + ax + b</math> имеет дискриминант

<math> (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \left ( n^n b^{n-1} + (-1)^{1-n} (n-1)^{n-1} a^n \right ).</math>

Возьмём частный случай

<math>f(x, s) = x^n - sx - s</math>.

Подстановка простого числа вместо Шаблон:Mvar в <math>f(x, s)</math> даёт многочлен (называемый конкретизацией функции <math>f(x, s)</math>), который по критерию Эйзенштейна неприводим. Тогда <math>f(x, s)</math> должен быть неприводимым над <math>\Q(s)</math>. Более того, <math>f(x, s)</math> можно переписать в виде

<math> x^n - \tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{2} - \left ( s - \tfrac{1}{2} \right)(x+1)</math>,

а <math>f(x, 1/2)</math> можно переписать в виде

<math>\tfrac{1}{2} (x-1) \left ( 1+ 2x + 2x^2 + \cdots + 2 x^{n-1} \right )</math>

второй множитель которого неприводим по критерию Эйзенштейна. Мы показали, что группа <math>Gal(f(x, s)/\Q(s))</math> является Шаблон:Не переведено 5.

Мы можем тогда найти, что эта группа Галуа имеет подстановку. Используем масштабный множитель <math>(1 - n)x = ny</math>, чтобы получить

<math> y^n - \left \{ s \left ( \frac{1-n}{n} \right )^{n-1} \right \} y - \left \{ s \left ( \frac{1-n}{n} \right )^n \right \}</math>

а с помощью подстановки

мы получаем

что можно выражение преобразовать в

<math>y^n - y - (n - 1)(y - 1) + (t - 1)(-ny + n - 1)</math>.

Тогда <math>g(y, 1)</math> имеет Шаблон:Math в качестве Шаблон:Не переведено 5, а его остальные Шаблон:Math нулей являются простыми, откуда следует подстановка в <math>Gal(f(x, s)/\Q(s))</math>. Любая конечная Шаблон:Не переведено 5, содержащая подстановку, является полной симметричной группой.

Из Шаблон:Не переведено 5 тогда следует, что бесконечное множество рациональных чисел даёт конкретизации <math>f(x, t)</math>, группы Галуа которых являются группами <math>S_n</math> над рациональным полем <math>\Q</math>. Фактически, это множество рациональных чисел плотно в <math>\Q</math>.

Дискриминант <math>g(y, t)</math> равен

и он, в общем случае, не является полным квадратом.

Знакопеременные группы

Решения для знакопеременных групп нужно рассматривать для чётных и нечётных степеней раздельно.

Нечётная степень

Пусть

<math> t = 1 - (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} n u^2 </math>

После подстановки этого значения дискриминант <math>g(y, t)</math> будет равен

<math>\begin{align}

(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} (1-t) &= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left (1 - \left (1 - (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} n u^2 \right ) \right) \\ &= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left ((-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} n u^2 \right ) \\ &= n^{n+1} (n-1)^{n-1} t^{n-1} u^2 \end{align}</math>

который является полным квадратом, когда Шаблон:Mvar нечётно.

Чётная степень

Пусть:

<math>t = \frac{1}{1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2}</math>

После подстановки этого значения дискриминант <math>g(y, t)</math> будет равен

<math>\begin{align}

(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} (1-t) &= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left ( 1 - \frac{1}{1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2} \right ) \\ &= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left ( \frac{\left ( 1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2 \right ) - 1}{1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2} \right ) \\ &= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left ( \frac{(-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2}{1 + (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2} \right ) \\ &= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} n^n (n-1)^{n-1} t^{n-1} \left (t (-1)^{\tfrac{n(n-1)}{2}} (n-1) u^2 \right ) \\ &= n^n (n-1)^n t^n u^2 \end{align}</math>

Который является полным квадратом, когда Шаблон:Mvar чётно.

Снова, из теоремы Гильберта о неприводимости следует существование бесконечного числа конкретизаций, группы Галуа которых являются знакопеременными группами.

Жёсткие группы

Предположим, что <math>C_1, \dots, C_n</math> являются смежными классами конечной группы Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar является множеством Шаблон:Mvar-кортежей <math>g_1,\dots, g_n)</math> группы Шаблон:Mvar, таким что <math>g_i</math> содержится в <math>C_i</math>, а произведение <math>g_1{\dots}g_n</math> тривиально. Тогда Шаблон:Mvar называется жёстким, если оно не пустое. Шаблон:Mvar действует транзитивно на него путём сопряжения, а каждый элемент множества Шаблон:Mvar генерирует Шаблон:Mvar.

ТомпсонШаблон:Sfn показал, что в случае, когда конечная группа Шаблон:Mvar имеет жёсткое множество, тогда она часто может быть реализована как группа Галуа над круговым расширением рациональных чисел. (Точнее, над круговым расширением рациональных чисел, генерируемым значениями неприводимых характеров Шаблон:Mvar на классах смежности <math>C_i</math>.)

Это можно использовать, чтобы показать, что многие конечные простые группы, включая группу-монстра, являются группами Галуа расширений рациональных чисел. Монстр генерируется тройкой элементов с порядками Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math. Все такие тройки смежны.

Прототипом для жёсткости является симметрическая группа <math>S_n</math>, которая генерируется Шаблон:Mvar-циклом и подстановкой, произведением которых является Шаблон:Math-цикл. Построение в предыдущей секции использует эти генераторы для получения полиномиальных групп Галуа.

Построение с помощью эллиптической модулярной функции

Возьмём какое-либо целое число Шаблон:Math. Решётка <math>\Lambda</math> на комплексной плоскости с периодом Шаблон:Mvar имеет подрешётку <math>\Lambda'</math> с периодом Шаблон:Math. Последняя является одной из конечного набора подрешёток, переставляемых модулярной группой <math>PSL(2, \Z)</math>, которая основывается на изменении базиса решётки <math>\Lambda</math>. Пусть Шаблон:Mvar обозначает Шаблон:Не переведено 5 Феликса Клейна. Определим многочлен <math>\varphi_n</math> как произведение разностей <math>(X - j(\Lambda_i))</math> над смежными подрешётками. Как многочлен от Шаблон:Mvar <math>\varphi_n</math> имеет коэффициенты, которые являются многочленами от <math>\Q</math> в Шаблон:Math.

На смежных решётках модулярная группа действует как <math>PGL(2, \Z/n\Z)</math>. Отсюда следует, что <math>\varphi_n</math> имеет группу Галуа, изоморфную <math>PGL(2, \Z/n\Z)</math> над <math>\Q(J(\tau))</math>.

Использование теоремы неприводимости Гильберта даёт бесконечное (и плотное) множество рациональных чисел, конкретизирующих <math>\varphi_n</math> до многочленов с группой Галуа <math>PGL(2, \Z/n\Z)</math> над полем <math>\Q</math>. Группы <math>PGL(2, \Z/n\Z)</math> включают бесконечно много неразрешимых групп.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Rq

↑ Шаблон:Cite web
↑ Для любой подгруппы G группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое K^G, — это множество тех элементов поля K, которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из G, с индуцированными из K операциями.
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite web

[1] Шаблон:Cite web

[2] Для любой подгруппы G группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое K^G, — это множество тех элементов поля K, которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из G, с индуцированными из K операциями.

[3] Шаблон:Cite web

[4] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.