Русская Википедия:Обратная теорема
Обратная теорема или обратная импликация — это обратное утверждение к данной теореме в котором условие исходной теоремы (прямого утверждения) поставлено заключением, а заключение — условием.[1]
Обратной к обратной теореме является исходная (прямая) теорема. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнения условий любой из них необходимо и достаточно для справедливости заключения.[1]
Каждая теорема может быть выражена в форме импликации <math>A \Rightarrow B</math>, в которой посылка <math>A</math> является условием теоремы, а следствие <math>B</math> является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде <math>B \Rightarrow A</math> является обратной к нейШаблон:Sfn.
Часто используется более общее определение обратной теоремы: если <math>(A \land C) \Rightarrow B</math> является прямой теоремой, то обратной называется не только теорема <math>B \Rightarrow (A \land C)</math>, но и теоремы <math>(B \land A) \Rightarrow C</math>, <math>(B \land C) \Rightarrow A</math>Шаблон:Sfn.
Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то обратная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является <math>A</math>, а заключением <math>Y \Rightarrow Z</math>: <math>A \Rightarrow (Y \Rightarrow Z)</math>, то для обратной теоремы существует пять форм:Шаблон:Sfn
- <math> (Y \Rightarrow Z) \Rightarrow A</math>
- <math> (A \Rightarrow Z) \Rightarrow Y</math>
- <math> Z \Rightarrow (A \And Y)</math>
- <math> A \Rightarrow (Z \Rightarrow Y)</math>
- <math> Y \Rightarrow (Z \Rightarrow A)</math>
Вообще говоря, обратная теорема может не быть истинной, даже если прямая теорема верна. Так, теорема «вертикальные углы равны» (иначе: «если углы вертикальные, то они равны»), как известно, верна. Но обратное к ней утверждение «если углы равны, то они вертикальные», вообще говоря, неверно.
Даже если обратное утверждение истинно, то его доказательство может быть гораздо сложнее доказательства прямого. Например, теорема о четырёх вершинах была доказана в 1912 году, а её обратная только в 1998 году.
Свойства
- Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: <math>( A \Rightarrow B ) \Leftrightarrow ( \overline{B} \Rightarrow \overline{A} ) </math>
- Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: <math>( B \Rightarrow A ) \Leftrightarrow ( \overline{A} \Rightarrow \overline{B} ) </math>Шаблон:Sfn
Примеры
- Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:
Если в треугольнике со сторонами длиной <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> угол, противолежащий стороне <math>c</math>, прямой, то a2+b2=c2.
- Обратная к этой теореме появляется в «Началах» Евклида (книга I, предложение 48), может быть сформулирована следующим образом:
Если в треугольнике со сторонами длиной <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> выполняется <math>a^2+b^2=c^2</math>, то угол, противолежащий стороне <math>c</math>, прямой.
- Теорема Абеля и теорема Абеля — Таубера
- Теоремы о вершинах подерного треугольника
- Прямая и обратная предельная теорема
- В ином смысле: теоремы Шеннона для источника общего вида
Смотрите также
- Противоположная теорема
- Тождество
- Отрицание
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Эквиваленция
- Исключающее «или»
- Импликация
- Обратная импликация
- Штрих Шеффера
- Стрелка Пирса
- Таблица истинности
Примечания
Литература
- ↑ 1,0 1,1 Обратная теорема // Математический энциклопедический словарь / под ред. Прохорова Ю. В. — М., Советская энциклопедия, 1988. — c. 423
