Русская Википедия:Обратные тригонометрические функции
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
- арксинус (обозначение: <math>\arcsin x;</math> угол, синус которого равен <math>x</math>)
- арккосинус (обозначение: <math>\arccos x;</math> угол, косинус которого равен <math>x</math> и т. д.)
- арктангенс (обозначение: <math>\operatorname{arctg} x</math>; в иностранной литературе <math>\arctan x</math>)
- арккотангенс (обозначение: <math>\operatorname{arcctg} x</math>; в иностранной литературе <math>\arccot x</math> или <math>\operatorname{arccotan} x</math>)
- арксеканс (обозначение: <math>\arcsec x</math>)
- арккосеканс (обозначение: <math>\operatorname{arccosec} x</math>; в иностранной литературе <math>\arccsc x</math>)
Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от Шаблон:Lang-la — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века Карла Шерфера и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: <math>\sin^{-1}, \frac{1}{\sin},</math> но они не прижились[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sinШаблон:Sup, cosШаблон:Sup для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.
Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, <math>\arcsin 1/2</math> означает множество углов <math>\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )</math>, синус которых равен <math>1/2</math>. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.
В общем случае при условии <math>-1 \leqslant \alpha \leqslant 1</math> все решения уравнения <math>\sin x = \alpha</math> можно представить в виде <math>x = (-1)^n \arcsin \alpha + \pi n, ~ n = 0, \pm1, \pm2, \dots ~ .</math>Шаблон:Sfn
Основное соотношение
- <math>\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}</math>
- <math>\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}</math>
Функция arcsin
Аркси́нусом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math, выраженного в радианах, для которого <math>\sin y = x,\quad -\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},\quad |x|\leqslant 1.</math>
Функция <math>y=\arcsin x</math> непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.
- <math>\sin (\arcsin x) = x\qquad</math> при <math>-1 \leqslant x \leqslant 1,</math>
- <math>\arcsin(\sin y) = y\qquad</math> при <math>-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},</math>
- <math>D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad</math> (область определения),
- <math>E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad</math> (область значений).
Свойства функции arcsin
- <math>\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad</math> (функция является нечётной).
- <math>\arcsin x>0</math> при <math>0 < x \leqslant 1</math>.
- <math>\arcsin x = 0</math> при <math>x=0.</math>
- <math>\arcsin x < 0</math> при <math>-1 \leqslant x < 0.</math>
- <math>\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x.</math>
- <math>\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1
\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 \end{matrix}\right.</math>
- <math>\arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math>
- <math>\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1
\\ \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.</math>
Получение функции arcsin
Дана функция <math>y=\sin x</math>. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие <math>y= \arcsin x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок <math>[-\pi/2; \pi/2]</math>, на котором функция <math>y=\sin x</math> строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке <math>[-\pi/2; \pi/2]</math> существует обратная функция <math>y=\arcsin x</math>, график которой симметричен графику функции <math>y=\sin x</math> относительно прямой <math>y=x</math>.
Функция arccos
Аркко́синусом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math в радианной мере, для которого <math>\cos y = x,\qquad 0 \leqslant y \leqslant \pi,\quad |x|\leqslant 1.</math>
Функция <math>y=\arccos x</math> непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.
- <math>\cos (\arccos x)=x</math> при <math>-1 \leqslant x \leqslant 1,</math>
- <math>\arccos (\cos y) = y</math> при <math>0 \leqslant y \leqslant \pi.</math>
- <math>D(\arccos x)=[-1; 1]</math> (область определения),
- <math>E(\arccos x)=[0; \pi]</math> (область значений).
Свойства функции arccos
- <math>\arccos(-x) = \pi - \arccos x.</math> Функция центрально-симметрична относительно точки <math>\left (0; \frac{\pi}{2}\right),</math> является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
- <math>\arccos x > 0</math> при <math>-1 \leqslant x < 1.</math>
- <math>\arccos x = 0</math> при <math>x=1.</math>
- <math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x.</math>
- <math>\arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0
\end{matrix}\right.</math>
- <math>\arccos x = \operatorname{arcctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
- <math>\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1
\\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix} \right.</math>
- <math>\arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2} </math>
- <math>\arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2} </math>
- <math>\arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x} = 2 \operatorname{arctg} \frac {\sqrt {1-x^2}}{1+x}</math>
Получение функции arccos
Дана функция <math>y=\cos x</math>. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие <math>y=\arccos x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок <math>[0; \pi]</math>, на котором функция <math>y=\cos x</math> строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на отрезке <math>[0; \pi]</math> существует обратная функция <math>y = \arccos x</math>, график которой симметричен графику функции <math>y=\cos x</math> относительно прямой <math>y=x</math>.
Функция arctg
Аркта́нгенсом числа Шаблон:Math называется такое значение угла <math>y,</math> выраженное в радианах, для которого <math>\operatorname{tg} y = x, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}.</math>
Функция <math>y=\operatorname{arctg} x</math> определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.
- <math>\operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x</math> при <math>x \in \mathbb R,</math>
- <math>\operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y</math> при <math>-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},</math>
- <math>D(\operatorname{arctg}\,x) = (-\infty; \infty)</math> (область определения),
- <math>E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)</math> (область значений).
Свойства функции arctg
- <math>\operatorname{arctg} (- x) = -\operatorname{arctg} x \qquad</math> (функция является нечётной).
- <math> \operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. </math>
- <math>\operatorname{arctg} x = \left\{\begin{matrix} \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0
\\-\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \leqslant 0\end{matrix}\right.</math>
- <math>\operatorname{arctg} x = \pi/2-\operatorname{arcctg} x.</math>
- <math>\operatorname{arctg} x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg} \frac{1}{x},\qquad x > 0
\\ \operatorname{arcctg} \frac{1}{x} -\pi,\qquad x < 0\end{matrix}\right.</math>
- <math> \operatorname{arctg} x = -i \operatorname{arth} {ix} </math>, где <math> \operatorname{arth} </math> — обратный гиперболический тангенс, ареатангенс.
- <math> \operatorname{arth} x = i \operatorname{arctg} {ix}. </math>
Получение функции arctg
Дана функция <math>y=\operatorname{tg}\, x</math>. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие <math>y=\operatorname{arctg}\, x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал <math>(-\pi/2; \pi/2)</math>, на котором функция <math>y=\operatorname{tg}\, x</math> строго монотонно возрастает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале <math>(-\pi/2; \pi/2)</math> существует обратная функция <math>y=\operatorname{arctg}\, x</math>, график которой симметричен графику функции <math>y=\operatorname{tg}\, x</math> относительно прямой <math>y=x</math>.
Функция arcctg
Арккота́нгенсом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math (в радианной мере измерения углов), для которого <math>\operatorname{ctg}\,y = x,\quad 0 < y < \pi.</math>
Функция <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.
- <math>\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}\, x) = x</math> при <math>x \in \mathbb R,</math>
- <math>\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\, y) = y</math> при <math>0<y<\pi,</math>
- <math>D(\operatorname{arcctg} x) = (-\infty; \infty),</math>
- <math>E(\operatorname{arcctg} x) = (0; \pi).</math>
Свойства функции arcctg
- <math>\operatorname{arcctg} (-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x.</math> График функции центрально-симметричен относительно точки <math>\left(0; \frac{\pi}{2}\right).</math> Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
- <math>\operatorname{arcctg} x > 0</math> при любых <math>x.</math>
- <math> \operatorname{arcctg} x = \arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. </math>
- <math>\operatorname{arcctg} x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0
\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \leqslant 0\end{matrix}\right.</math>
- <math>\operatorname{arcctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x.</math>
- <math>\operatorname{arcctg} x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg} \frac{1}{x},\qquad x > 0
\\ \operatorname{arctg} \frac{1}{x} +\pi,\qquad x < 0\end{matrix}\right.</math>
Получение функции arcctg
Дана функция <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math>. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал <math>(0; \pi)</math>, на котором функция <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> строго монотонно убывает и принимает все значения своей области значений только один раз. Тогда на интервале <math>(0; \pi)</math> существует обратная функция <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math>, график которой симметричен графику функции <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> относительно прямой <math>y=x</math>.
График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, <math>x \rightarrow -x</math>) и сместить вверх на Шаблон:Math; это вытекает из вышеупомянутой формулы <math>\operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} (-x)+\pi/2.</math>
Функция arcsec
Арксе́кансом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math (в радианной мере измерения углов), для которого <math>\sec y = x,\qquad |x| \geqslant 1,\quad 0 \leqslant y \leqslant \pi.</math>
Функция <math>y=\arcsec x</math> непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.
- <math>\sec (\arcsec x)=x</math> при <math>|x| \geqslant 1,</math>
- <math>\arcsec (\sec y) = y</math> при <math>0 \leqslant y \leqslant \pi.</math>
- <math>D(\arcsec x)=(-\infty; -1]\cup [1,\infty)</math> (область определения),
- <math>E(\arcsec x)=[0;\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2};\pi]</math> (область значений).
Свойства функции arcsec
- <math>\arcsec(-x) = \pi - \arcsec x.</math> График функции центрально-симметричен относительно точки <math>\left(0; \frac{\pi}{2}\right).</math> Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
- <math>\arcsec x \geqslant 0</math> при любых <math>x.</math>
- <math>\arcsec x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},\qquad x \geqslant 1
\\\pi+\arcsin \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},\qquad x \leqslant -1\end{matrix}\right.</math>
- <math>\arcsec x = \frac{\pi}{2}-\operatorname{arccosec} x.</math>
- <math>\arcsec x = \arccos \frac{1}{x}.</math>
Функция arccosec
Арккосе́кансом числа Шаблон:Math называется такое значение угла Шаблон:Math (в радианной мере измерения углов), для которого <math>\operatorname{cosec} y = x,\qquad |x| \geqslant 1, \quad -\pi/2 \leqslant y \leqslant \pi/2.</math>
Функция <math>y=\operatorname{arccosec} x</math> непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.
- <math>\operatorname{cosec} (\operatorname{arccosec} x)=x</math> при <math>|x| \geqslant 1,</math>
- <math>\operatorname{arccosec} (\operatorname{cosec} y) = y</math> при <math>-\pi/2 \leqslant y \leqslant \pi/2.</math>
- <math>D(\operatorname{arccosec} x)=(-\infty; -1]\cup [1,\infty)</math> (область определения),
- <math>E(\operatorname{arccosec} x)=[-\frac{\pi}{2};0)\cup(0; \frac{\pi}{2}]</math> (область значений).
Свойства функции arccosec
- <math>\operatorname{arccosec} (-x) = - \operatorname{arccosec} x</math> (функция является нечётной).
- <math>\operatorname{arccosec}\, x = \operatorname{arctg} \frac{\operatorname{sgn}x}{\sqrt{x^2-1}} = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{x^2-1}},\qquad x > 1
\\-\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{x^2-1}},\qquad x < -1\end{matrix}\right.</math>
- <math>\operatorname{arccosec} x = \pi/2-\arcsec x.</math>
- <math>\operatorname{arccosec} x = \arcsin \frac{1}{x}.</math>
Разложение в ряды
- <math>\displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1</math>[3]
- <math>\displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1</math>
- <math>\displaystyle\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1}</math> для всех <math>\left| x \right| \le 1</math>
Производные от обратных тригонометрических функций
Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:
| Функция <math>f(x)</math> | Производная <math>f'(x)</math> | Примечание |
|---|---|---|
| <math>\arcsin{x}</math> | <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | Шаблон:Hider</math> Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения. |
| <math>\arccos{x}</math> | <math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | Шаблон:Hider</math>
}} |
| <math>\mathrm{arctg}\ x</math> | <math>\frac{1}{1+x^2}</math> | Шаблон:Hider</math>): <math>(arctg(x))' = (\frac{1}{\sqrt{1 + tg^2(arctg(x))}})^2</math> |
| <math>\mathrm{arcctg}\ x</math> | <math>-\frac{1}{1+x^2}</math> | Шаблон:Hider |
| <math>\mathrm{arcsec}\ x</math> | x|\sqrt{x^2 - 1}}</math> | Шаблон:Hider} \cdot (-\frac{1}{x^2})</math>
<math>(arcsec(x))' = \frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}}</math> <math>(arcsec(x))' = \frac{1}{x^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}}</math> Получается. <math>(arcsec(x))' = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}</math> }} |
| <math>\mathrm{arccosec}\ x</math> | x|\sqrt{x^2 - 1}}</math> | Шаблон:Hider</math>
}} |
Интегралы от обратных тригонометрических функций
Неопределённые интегралы
Для действительных и комплексных Шаблон:Math:
- <math>
\begin{align} \int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\ \int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\
\int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\ \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C. \end{align}</math>
Для действительных Шаблон:Math ≥ 1:
- <math>
\begin{align} \int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\ \int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C. \end{align}</math>
Использование в геометрии
Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.
В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины <math>a</math> является противолежащим для угла <math>\alpha</math>, то
<math>\alpha = \arcsin (a/c) = \arccos (b/c) = \operatorname{arctg} (a/b) = \operatorname{arccosec} (c/a) = \arcsec (c/b) = \operatorname{arcctg} (b/a).</math>
Связь с натуральным логарифмом
Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:
- <math>
\begin{align} \arcsin z & {}= -i \ln (iz+\sqrt{1-z^2})=\frac{\pi}{2}-i\ln (z+\sqrt{z^2-1})=-i \operatorname{arsh}\, iz , \end{align} </math>
- <math>
\arccos (z) = \dfrac{\pi}{2} + i \ln (iz+\sqrt{1-z^2}) = -i\operatorname{arch}(iz) </math>
- <math>
\operatorname{arctg}(z)= \dfrac{i}{2} ( \ln(1-iz)-\ln(1+iz) ) = -i\operatorname{arth}(iz)
</math>
- <math>
\operatorname{arcctg}(z)= \dfrac{i}{2} \left( \ln \left( \dfrac{z-i}{z} \right)-\ln \left( \dfrac{z+i}{z} \right) \right) = i\operatorname{arcth}(iz)
</math>
- <math>
\arcsec (z)= \arccos\left(z^{-1}\right) = \dfrac{\pi}{2} + i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right),
</math>
- <math>
\operatorname{arccosec}\,(z)= \arcsin\left(z^{-1}\right) = - i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right).
</math>
См. также
Примечания
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
- Шаблон:Из БСЭ — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
- Шаблон:Книга
- Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
- Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Здесь знак Шаблон:Sup определяет функцию Шаблон:Math обратную функции Шаблон:Math
- ↑ При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой <math>\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},</math> где <math>\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x</math>
