Русская Википедия:Обратный оператор

Если A отображает X на Y, то A⁻¹ отображает Y на X

Обратный оператор к оператору <math>A</math> — оператор, который каждому <math>y</math> из множества значений <math>\mbox{Im}\,A</math> оператора <math>A</math> ставит в соответствие единственный элемент <math>x</math> из области определения <math>\mathcal D (A)</math> оператора <math>A</math>, являющийся решением уравнения <math>A x = y</math>. Если оператор <math>A</math> имеет обратный, то есть уравнение <math> A x = y</math> имеет единственное решение при любом <math>y</math> из <math>\mbox{Im}\,A</math>, то <math>A</math> называется обратимым. Обратный оператор обозначается <math>A^{-1}</math>Шаблон:Sfn.

Определение и условия существования

Другое определение: оператор <math>B</math> называется обратным к оператору <math>A</math>, если <math> B A = I, \, A B = I </math>, где <math>I</math> — единичный оператор. Если выполняется только соотношение <math>B A = I</math> или только <math>A B = I,</math> то оператор <math>B</math> называется левым обратным или правым обратным соответственно. Если оператор <math>A</math> имеет левый обратный и правый обратный, то они равны между собой, а оператор <math>A</math> является обратимымШаблон:Sfn. Если обратный оператор существует, он определяется единственным образомШаблон:Sfn.

Оператор <math>A</math> обратим, если он отображает <math>\mathcal D(A)</math> на <math>\mbox{Im}\, A</math> взаимно однозначно, то есть при различных <math>x \in \mathcal D(A)</math> принимает различные значения <math> y </math>.Шаблон:Sfn Если оператор <math>A</math> — линейный, то для существования обратного оператора достаточно, чтобы <math>A x = 0</math> выполнялось только при <math>x = 0</math>Шаблон:Sfn.

Линейный оператор (даже ограниченный) может иметь обратный, определённый не на всём пространстве. Например, в пространстве <math>\ell_2</math> линейный оператор

имеет обратный, который определен для векторов с первой координатой равной нулю: <math>x_1 = 0</math>Шаблон:Sfn.

Свойства

<math>(A^{-1})^{-1} = A.</math>Шаблон:Sfn
<math>(A_1 A_2)^{-1} = A_2^{-1} A_1^{-1}.</math>Шаблон:Sfn
Оператор <math>A^{-1}</math>, обратный к линейному оператору, также линеен.Шаблон:Sfn
<math>(A^{-1})^* = (A^*)^{-1}</math>, <math>A^*</math> — сопряжённый оператор Шаблон:Sfn.

Теоремы об обратном операторе

Теорема Банаха

Шаблон:Main Шаблон:Рамка Пусть <math>A</math> — линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство <math>E</math> на банахово пространство <math>E_1</math>. Тогда обратный оператор <math>A^{-1}</math> ограничен. Шаблон:Конец рамки

Теорема Банаха является одним из основных принципов линейного анализа^[1]. Из неё следует теорема об открытом отображении: линейное непрерывное отображение <math>A</math> банахова пространства <math>E</math> на (всё) банахово пространство <math>E_1</math> открытоШаблон:Sfn.

Достаточные условия существования обратного оператора

Пусть линейный оператор <math>A</math>, отображающий линейное нормированное пространство <math>E</math> на линейное нормированное пространство <math>E_1</math>, удовлетворяет для любого <math>x \in E</math> условию

где <math>m > 0</math> — некоторая константа. Тогда существует обратный ограниченный линейный оператор <math>A^{-1}</math>Шаблон:Sfn.

Пусть <math>A</math> — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из банахова пространства <math>E</math> в банахово пространство <math>E_1</math> и <math>\Delta A</math> — линейный ограниченный оператор из <math>E</math> в <math>E_1</math> такой, что <math> \| \Delta A \| < 1/\| A^{-1} \|</math>. Тогда оператор <math>B = A + \Delta A</math> имеет ограниченный обратный, причём

<math> \| B^{-1} - A^{-1} \| \le \frac{\| \Delta A \|}{1 - \| A^{-1} \| \| \Delta A \|} \| A^{-1} \|^2</math>Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Пусть <math>E</math> — банахово пространство, <math>I</math> — тождественный оператор в <math>E</math>, а <math>A</math> — такой линейный ограниченный оператор, отображающий <math>E</math> в себя, что <math>\| A \| < 1</math>. Тогда оператор <math>(I - A)^{-1}</math> существует, ограничен и представляется в виде ряда

<math> (I - A)^{-1} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} A^k</math>Шаблон:Sfn.

Примеры

Преобразование Фурье

Шаблон:Main

<math> g(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\lambda t} dt </math>

можно рассматривать как линейный ограниченный оператор, действующим из пространства <math>L_2(-\infty, \infty)</math> в себя. Обратным оператором для него является обратное преобразование Фурье

<math> f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(\lambda) e^{i \lambda t} d\lambda</math>Шаблон:Sfn.

Операторы интегрирования и дифференцирования

Для оператора интегрирования

<math>A x = \int\limits_0^t x(\tau) \, d\tau,</math>

действующего в пространстве непрерывных функций <math>C[0, 1]</math>, обратным будет оператор дифференцирования:

определённый на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функций, таких что <math>y(0) = 0</math>Шаблон:Sfn.

Оператор Штурма-Лиувилля

Для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля <math> Ax = \frac{d}{dt} \left\{ p(t) \frac{dx}{dt}\right\} + q(t) x,</math> определённого на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых функций таких, что <math>x(0) = x(1) = 0</math>, обратным оператором является интегральный оператор

<math> A^{-1} y = \int\limits_0^1 G(t, \tau) y(\tau) \, d\tau, </math>

где <math>G(t, \tau)</math> — функция Грина. <math>A^{-1}</math> — линейный ограниченный оператор в <math>C[0, 1]</math>Шаблон:Sfn.

Интегральный оператор

Пусть

<math> A x = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) \, ds </math>

— интегральный оператор в пространстве непрерывных функций <math>C[0, 1]</math>. При достаточно малых значениях параметра <math>\lambda</math> оператор <math>(I - \lambda A)</math> (где <math>I</math> — единичный оператор) имеет ограниченный обратный

<math> (I - \lambda A)^{-1} y = y(t) + \lambda \int\limits_0^1 R(t, s, \lambda) y(s) \, ds </math>,

где <math>R(t, s, \lambda)</math> — резольвента ядра <math>K(t, s)</math>. Зная резольвенту, можно найти решение интегрального уравнения

<math>x(t) = y(t) + \lambda \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) \, ds</math>

при любом свободном члене <math> y(t)</math>Шаблон:Sfn.

Обратный оператор в конечномерном пространстве

Оператор в конечномерном пространстве обратим тогда и только тогда, когда его ранг совпадает с размерностью пространства. Иначе говоря, определитель его матрицы отличен от нуля. Обратному оператору отвечает обратная матрица^[2].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

[1] Книга:Математическая энциклопедия

[2] Шаблон:Книга

[1]

[2]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.