Русская Википедия:Обратный элемент

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Обра́тный элеме́нт — термин в общей алгебре, обобщающий понятия обратного числа (для умножения) и противоположного числа (для сложения).

Определения

Пусть <math>(M,\cdot)</math> — множество <math>M,</math> на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой (<math>\cdot</math>), с нейтральным элементом <math>e</math>. Пусть <math>x,y</math> — пара произвольных элементов множества <math>M</math>. Если справедливо равенство <math> x \cdot y = e,</math> то <math>y</math> называется правым обратным (или обра́тным спра́ва) к <math>x</math>.

Аналогичным образом, если выполнено равенство <math>y \cdot x = e,</math> то <math>y</math> называется левым обратным (обра́тным сле́ва) к <math>x.</math>

Элемент <math>y\in M</math>, являющийся обратным к <math>x</math> и справа, и слева, то есть такой, что
    <math> x \cdot y = y \cdot x = e,</math>
называется просто обратным к <math>x</math> и обозначается <math>x^{-1}</math>. Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания

• Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация <math>(M,+)</math>, то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается <math>-x</math>.
• Вообще говоря, один и тот же элемент <math>x\in M</math> может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

Свойства

Пусть операция <math>\cdot</math> ассоциативна. Тогда если для элемента <math>x\in M</math> определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

Примеры

Множество	Бинарная операция	Обратный элемент
Вещественные числа	<math>+</math> (сложение)	<math>-x</math> (противоположное число)
Вещественные числа, не равные нулю	<math>\cdot</math> (умножение)	<math>1/x</math> (обратное число)
Функции вида <math>f:M\to M</math>	<math>\circ</math> (композиция функций)	<math>f^{-1}</math> (обратная функция)

См. также

• Группа