Русская Википедия:Общая тауберова теорема Винера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Общая тауберова теорема Винера — теорема об асимптотических свойствах линейных преобразований функций, имеющих не равное нулю преобразование Фурье. Была доказана Норбертом Винером в 1932 году.

Формулировка

Пусть <math>K_{1}</math> — функция из пространства <math>L_{1}</math>, преобразование Фурье которой не обращается в нуль ни в одной точке оси <math>(-\infty, \infty)</math>. Пусть <math>K_{2}</math> принадлежит <math>L_{1}</math>, а функция <math>f(x)</math> ограничена на промежутке <math>(-\infty, \infty)</math>. Если <math>\lim_{x \to \infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} K_{1}(x-y)f(y)dy = A \int \limits_{-\infty}^{\infty} K_{1}(x)dx (1)</math>, то <math>\lim_{x \to \infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} K_{2}(x-y)f(y)dy = A \int \limits_{-\infty}^{\infty} K_{2}(x)dx (2)</math>. С другой стороны, пусть <math>K_{1}</math> — функция из пространства <math>L_{1}</math>, преобразование Фурье которой имеет вещественный нуль. Тогда найдется ограниченная функция <math>f(x)</math> и функция <math>K_{2}(x)</math>, принадлежащая <math>L_{1}</math>, такая, что <math>(1)</math> выполняется, а <math>(2)</math> не имеет места.

Пояснения

Здесь <math>L_{1}</math> — обозначает пространство вещественных неограниченных функций, для которых существует предел <math>\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{A, B \to -\infty} \int \limits_{a}^{b} f_{A, B}(x) dx</math>.

Литература

• Шаблон:Книга