Русская Википедия:Объём Малера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Объём Малера — характеристика Центрально-симметричного выпуклого тела. Названа в честь Шаблон:Iw.

Нерешённая гипотеза Малера утверждает, что минимальный возможный объём Малера имеет куб.

Определение

Выпуклое тело в Евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью.

Если <math>B</math> есть центрально-симметричное выпуклое тело в n-мерном евклидовом пространстве, то двойственное тело <math>B^*</math> другое центрально-симметричного тело в том же пространстве, определяемая как

<math>B^*=\left\{ x\mid x\cdot y\le 1 \text{ for all } y\in B \right\}.</math>

Объём Малера <math>B</math> является произведением объёмов <math>B</math> и <math>B^*</math>.

Примеры

• Единичный шар является самодвойственным. Поэтому объём Малера единичного шара есть квадрат его объёма.

  <math>\frac{\Gamma(3/2)^{2n}4^n}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)^2}.</math>

где Γ обозначает гамма-функцию.

• Такой же объём Малера имеет любой эллипсоид

• Двойственное тело для куба есть октаэдр. Отсюда несложно вычислить что объём Малера куба (также как и октаэдра) есть <math>\tfrac{4^n}{n!}</math>.
  • Согласно формуле Стирлинга, объём Малера шара превышает объем Малера куба примерно в <math>\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^n</math> раз.

Свойства

• Объём Малера являющееся безразмерной величиной инвариантой относительно линейных преобразований.
• По неравенству Бляшке — Сантало, шар имеет максимальный объёмом Малера.

Ссылки

• Шаблон:Citation.

• Шаблон:Citation.

• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback. Revised and reprinted in Шаблон:Citation.