Русская Википедия:Однолистная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Однолистная функция — комплексная функция <math>f(z)</math>, голоморфная или мероморфная в области <math>A \in \mathbb{C}</math> и являющаяся биективным отображением между множеством <math>A</math> и его образом <math>f(A)</math>Шаблон:Sfn.

Аналитическая функция <math>f</math> локально однолистна в точке <math>z_0</math>, если существует некоторая окрестность <math>{\mathcal U}_{z_0}</math>, где <math>f</math> однолистна (то есть <math>f'(z_0) \neq 0</math>). Максимальная область однолистности для функции <math>f(z)</math> — это область <math>A\subset\mathbb C</math>, в которой <math>f(z)</math> однолистна, но в любой области <math>A'\supset A</math> функция уже не является однолистной.

Принцип однолистности: функция <math>f</math>, аналитичная в области <math>G</math>, которая продолжается непрерывно на жорданову кривую <math>\partial G</math> и осуществляет взаимно однозначное отображение <math>\partial G</math> на <math>f(\partial G)</math>, однолистна в <math>G</math>.

Примеры

Функция <math>f: z \mapsto 2z + z^2</math> является однолистной в открытом единичном круге: из <math>f(z) = f(w)</math> следует, что <math>f(z) - f(w) = (z - w)(z + w + 2) = 0</math>, и так как <math>\left\vert z + w \right\vert < 2</math>, то <math>f(z) = f(w)</math> лишь при <math>z = w</math>.

См. также

• Гипотеза Бибербаха
• Вариация однолистной функции
• Многозначная функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга