Русская Википедия:Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x), \qquad ( 1 )</math>

где <math>\hbar</math> — постоянная Планка, <math>m</math> — масса частицы, <math>U(x)</math> — потенциальная энергия, <math>E</math> — полная энергия, <math>\psi(x)</math> — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения <math>( 1 )</math> надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала <math>[a,b]</math>

<math>\alpha_1\psi(a)+\beta_1\frac{d\psi(a)}{dx}=\gamma_1, \qquad ( 2 )</math> <math>\alpha_2\psi(b)+\beta_2\frac{d\psi(b)}{dx}=\gamma_2, \qquad ( 3 )</math>

где <math>\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \gamma_1, \gamma_2</math> — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения <math>( 1 )</math> с граничными условиями <math>( 2 )</math> и <math>( 3 )</math>.

Общие свойства

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности,

<math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=1. \qquad ( 0a )</math>

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция <math>x</math>. В одномерном случае, если волновая функция <math>\psi(x)\sim1/x^\alpha</math> при <math>x\longrightarrow +\infty</math>, то показатель степени в соответствии с выражением

<math>\int^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=\int^{+\infty}1/x^{2\alpha}dx=1/x^{2\alpha-1}\mid^{+\infty} \longrightarrow 0, \qquad ( 0b )</math>

должен удовлетворять неравенству <math>\alpha>1/2.</math>

Интегрирование уравнения <math>( 1 )</math> в малой окрестности точки a даёт дополнительные условия на производную волновой функции

<math>\int^{a+\varepsilon}_{a-\varepsilon}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}dx= \frac{2m}{\hbar^2}\int^{a+\varepsilon}_{a-\varepsilon}(U(x)-E)\psi(x)dx, \qquad ( 0c )</math>

из которого в пределе <math>\varepsilon\longrightarrow 0</math> следует

<math>\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a+0}-\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a-0} =0, \qquad ( 0d )</math>

если потенциальная энергия имеет в точке a разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией (<math>U(x)=-G\delta(x-a)</math>), то условие <math>( 0c )</math> принимает вид

<math>\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a+0}-\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a-0} =\frac{2m}{\hbar^2}(-G)\psi(a). \qquad ( 0e )</math>

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, то волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения

В общем виде решения уравнения <math>( 1 )</math>, с граничными условиями <math>( 2 )</math> и <math>( 3 )</math> не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения <math>( 1 )</math>.

Решение для свободной частицы — плоские волны

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение <math>( 1 )</math> принимает особенно простой вид

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x). \qquad ( 4 )</math>

Частными решениями этого уравнения являются функции

<math>{{\psi }_{E}}\left( x \right)=C{{e}^{\pm \sqrt{2mE}x/\hbar }}.\quad \quad (4a)</math>

Здесь энергия <math>E</math> может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Для функций (4a) интеграл (0а), определяющий условие нормировки, расходится. В этом случае нормировочную константу <math>C</math> следует определить из условия

<math>\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{dx}\psi _{E}^{*}\left( x \right){{\psi }_{{{E}'}}}\left( x \right)=\delta \left( E-{E}' \right),</math>

где <math>\delta \left( x \right)</math> - дельта функция Дирака. В результате получаем <math> C=1/\sqrt{2\pi \hbar \text{v}} </math>, где  <math>\text{v}=\sqrt{2E/m}</math> - скорость частицы.

Для уравнения (4) общим решением является суперпозиция плоских волн

<math>\psi(x)=C_1 e^{i\sqrt{2mE}x/\hbar}+C_2 e^{-i\sqrt{2mE}x/\hbar}. \qquad ( 5 )</math>

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения <math>( 1 )</math> с потенциальной энергией <math>U(x)</math>, которая равна нулю в интервале <math>(0,a)</math> и становится бесконечной в точках <math>0</math> и <math>a</math>. На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с <math>( 4 )</math>. Граничные условия <math>( 2 )</math>, <math>( 3 )</math> для волновой функции запишутся в виде

<math>\psi(0)=0, \qquad ( 6 )</math> <math>\psi(a)=0. \qquad ( 7 )</math>

Ищем решения в виде <math>A\sin{(\sqrt{2mE/\hbar^2}x+\delta)}</math>. С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии <math>E_n</math>

<math>E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n^2 \qquad ( 8 )</math>

и собственных функций с учётом нормировки

<math>\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{\pi n}{a}x}. \qquad ( 9 )</math>

Численные решения

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении <math>( 1 )</math> уже не позволяет найти аналитическое решение (вернее, это решение можно найти лишь для задачи об одной частице, движущейся в поле другой), и поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение <math>( 1 )</math> заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках <math>x_n</math>, а именно, заменяя вторую производную по формуле

<math>\frac{d^2y(x)}{dx^2}=\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}, \qquad ( 10 )</math>

где <math>h</math> — шаг дискретизации, <math>n</math> — номер узла сетки, получим

<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}+U_ny_n=Ey_n, \qquad ( 11 )</math>

где <math>U_n</math> — значение потенциальной энергии <math>U(x)</math> на узлах сетки. Пусть <math>a</math> некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение <math>( 11 )</math> можно записать в безразмерном виде

<math>-y_{n-1}+(2+h^2\frac{2ma^2U_n}{\hbar^2})y_n-y_{n+1}=h^2\frac{2ma^2E}{\hbar^2}y_n. \qquad ( 12 )</math>

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии <math>v_n=\frac{2ma^2U_n}{\hbar^2}</math> и собственные значения <math>e=h^2\frac{2ma^2E}{\hbar^2}</math>, то уравнение <math>( 12 )</math> упростится

<math>-y_{n-1}+(2+h^2 v_n-e)y_n-y_{n+1}=0. \qquad ( 13 )</math>

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов <math>n</math>.

Литература

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

См. также

• Яма с бесконечными стенками
• Треугольная квантовая яма