Русская Википедия:Однородная функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Однородная функция степени <math>q</math> — числовая функция <math>f:\R^n\to\R</math> такая, что для любого <math>\mathbf{v}\in\R^n</math>из области определения функции <math>f </math> и любого <math>\lambda \in\R </math> выполняется равенство:

<math> f(\lambda \mathbf{v}) = \lambda^q f(\mathbf{v}). \qquad\qquad (*) </math>

Параметр <math>q</math> называется порядком однородности. Подразумевается, что если <math> \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} </math>входит в область определения функции, то все точки вида <math> \lambda \mathbf{v} </math> тоже входят в область определения функции.

Различают также

• положительно однородные функции, для которых равенство <math>(*)</math> выполняется только для положительных <math>\lambda </math> <math>(\lambda > 0),</math>
• абсолютно однородные функции для которых выполняется равенство
      <math> f(\lambda \mathbf{v}) = |\lambda|^q f(\mathbf{v}), </math>
• ограниченно однородные функции, для которых равенство <math>(*)</math> выполняется только для некоторых выделенных значений <math>\lambda, </math>
• комплексные однородные функции <math>f:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}</math> для которых равенство <math>(*)</math> справедливо при <math>\mathbf{v}\in\mathbb{C}^n</math> и <math>\lambda \in\R </math> или <math>\lambda \in\mathbb{C} </math> (а также для комплексных показателей <math>q \in\mathbb{C} </math>).

Альтернативное определение однородной функции

В некоторых математических источниках однородными называются функции, являющиеся решением функционального уравнения <math display="block">f(\lambda\mathbf{v})=g(\lambda)f(\mathbf{v})</math> с заранее неопределённой функцией <math>g(\lambda)</math> и лишь потом доказывается, что <math>g(\lambda)=\lambda^q.</math> Для единственности решения <math>g(\lambda)=\lambda^q</math> нужно дополнительное условие, что функция <math>f(\mathbf{v})</math> не равна тождественно нулю и что функция <math>g(\lambda)</math> принадлежит определённому классу функций (например, была непрерывной или была монотонной). Однако, если функция <math>f(\mathbf{v})</math> непрерывна хотя бы в одной точке с ненулевым значением функции, то <math>g(\lambda)</math> должна быть непрерывной функцией при всех значениях <math>\lambda,</math> и тем самым для широкого класса функций <math>f(\mathbf{v})</math> случай <math>g(\lambda)\equiv\lambda^q</math> — единственно возможный.

Обоснование:

Функция, тождественно равная нулю, удовлетворяет функциональному уравнению <math>f(\lambda\mathbf{v})=g(\lambda)f(\mathbf{v})</math> при любом выборе функции <math>g(\lambda),</math> однако этот вырожденный случай не представляет особого интереса.

Если же в какой-то точке <math>\mathbf{v}_0</math> значение <math>f(\mathbf{v}_0)\ne0,</math> то:

1. <math>g(\lambda_1\lambda_2)f(\mathbf{v}_0)=f(\lambda_1\lambda_2 \mathbf{v}_0)=g(\lambda_1)f(\lambda_2 \mathbf{v}_0)=g(\lambda_1)g(\lambda_2) f(\mathbf{v}_0)</math>, откуда: <math display="block">\forall\lambda_1,\lambda_2: g(\lambda_1\lambda_2)=g(\lambda_1)g(\lambda_2);</math>
2. <math>g(\lambda_1\lambda_2)=g(\lambda_1)g(\lambda_2) \Leftrightarrow G(\mu_1+\mu_2)=G(\mu_1) + G(\mu_2), </math> где <math>\mu=\log\lambda, G(\mu)=\log g(\exp(\mu)).</math>

Функциональное уравнение Коши <math>G(\mu_1+\mu_2)=G(\mu_1) + G(\mu_2)</math> имеет решение в виде линейной функции: <math>G(t)=q \cdot t,</math> причём для класса непрерывных или класса монотонных функций это решение единственное. Поэтому если известно, что <math>g(\lambda)</math> непрерывная или монотонная функция, то <math>g(\lambda)\equiv\lambda^q.</math>

Свойства

1. Если <math>f_1,f_2,\dots</math> — однородные функции одного и того же порядка <math>q,</math> то их линейная комбинация с постоянными коэффициентами будет однородной функцией того же порядка <math>q.</math>
2. Если <math>f_1,f_2,\dots</math> — однородные функции с порядками <math>q_1,q_2,\dots,</math> то их произведение будет однородной функцией с порядком <math>q=q_1+q_2+\dots.</math>
3. Если <math>f</math> — однородная функция порядка <math>q,</math> то её <math>m</math>-ая степень (не обязательно целочисленная), если она имеет смысл (то есть если <math>m</math> — целое число, или если значение <math>f</math> положительно), будет однородной функцией порядка <math>m q</math> на соответствующей области определения. В частности, если <math>f</math> — однородная функция порядка <math>q</math>, то <math>1/f</math> будет однородной функцией порядка <math>(-q)</math> и областью определения в точках, где <math>f</math> определена и не равна нулю.
4. Если <math>f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> — однородная функция порядка <math>p,</math> а <math>h_k\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right)</math> — однородные функции порядка <math>q,</math> то суперпозиция функций <math>F\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right)=f\left(h_1,h_2,\dots,h_n\right)</math> будет однородной функцией порядка <math>pq.</math>
5. Если <math>f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> — однородная функция <math>n </math> переменных степени <math>p,</math> и гиперплоскость <math>x_1=x_2=\dots=x_j=0 </math> принадлежит её области определения, то функция <math>\left(n-j\right)</math> переменных <math>g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots,x_n\right)=f\left(0,\dots,0,x_{j+1},\dots,x_n\right)</math> будет однородной функцией степени <math>p.</math>
6. Логарифм однородной функции нулевого порядка или логарифм модуля однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Логарифм однородной функции или логарифм модуля однородной функции является однородной функцией тогда и только тогда, когда порядок однородности самой функции равен нулю.
7. Модуль однородной функции или модуль абсолютно-однородной функции является абсолютно-однородной функцией. Модуль однородной функции или модуль положительно однородной функции является положительно однородной функцией. Модуль однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка. Абсолютно-однородная функция нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка, и наоборот.
8. Произвольная функция от однородной функции нулевого порядка является однородной функцией нулевого порядка.
9. Если <math>h_k\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> —— положительно однородные функции порядка <math>p,</math> где <math>p \ne 0,</math> а <math>f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)=g\left(h_1,h_2,\dots,h_m\right)</math> —— положительно однородная функция порядка <math>q,</math> то функция <math>g\left(y_1,y_2,\dots,y_m\right)</math> будет положительно однородной функцией порядка <math>q/p </math> во всех точках <math>y</math>, в которых система уравнений <math>y_1=h_1\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math>, ..., <math>y_m=h_m\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> имеет решение. Если при этом <math>p </math> —— нечётное целое число, то положительную однородность можно заменить на обычную однородность. Следствие: если имеется непрерывная или монотонная функция <math>g(y)</math>, причём <math>g\left(f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right)</math> —— однородная или положительно однородная функция, где <math>f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> —— однородная или положительно однородная функция ненулевого порядка, то <math>g(y)=c y^m</math> —— степенная функция во всех точках <math>y</math>, в которых уравнение <math>y=f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)</math> имеет решение. В частности, <math>f(x)=c x^q</math> —— единственная монотонная или непрерывная функция одного переменного, являющаяся однородной функцией порядка <math>q</math> . (Доказательство дублирует рассуждения из раздела «Альтернативное определение однородной функции» этой статьи. При этом если снять ограничение, что функция <math>g(y)</math> —— непрерывная или же монотонная, то могут иметься и другие, весьма экзотические решения для <math>g(y)</math>, см. статью «Базис Гамеля».)
10. Если функция  <math>f</math>  является многочленом от  <math>n</math>  переменных, то она будет однородной функцией степени  <math>q</math>  в том и только в том случае, когда  <math>f</math> — однородный многочлен степени  <math>q.</math>  В частности, в этом случае порядок однородности <math>q</math>  должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства надо сгруппировать вместе мономы многочлена <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с одинаковыми порядками однородности <math>k_j=i_1+i_2+\dots+i_n</math>, подставить результат в равенство <math>(*)</math> и использовать тот факт, что степенные функции <math>\lambda^{k_1},\lambda^{k_2},\dots</math> с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с нецелочисленными индексами.
11. Если конечное произведение многочленов является однородной функцией, то каждый сомножитель является однородным многочленом. (Для доказательства выберем в каждом сомножителе мономы <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с минимальным и максимальным порядками однородности <math>k=i_1+i_2+\dots+i_n</math>. Поскольку после перемножения получившийся многочлен должен состоять из мономов с одним и тем же порядком однородности, то для каждого сомножителя минимальный и максимальный порядок однородности должен быть одним и тем же числом.) Утверждение можно обобщить на случай линейных комбинаций мономов вида <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с нецелочисленными индексами.
12. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции <math>f=\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math> являются однородными многочленами, функция будет однородной с порядком однородности, равным разности порядков однородности числителя и знаменателя. Если дробно-рациональная функция является однородной, её числитель и знаменатель с точностью до общего множителя — однородные многочлены. Утверждение можно обобщить на случай дробно-рационального отношения линейных комбинаций мономов вида <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с нецелочисленными индексами.
13. Однородная функция ненулевой степени в нуле равна нулю, если она там определена:  <math> f(\mathbf{0}) = 0.</math> (Получается при подстановке в равенство <math>(*)</math> значения  <math>\lambda=0</math>  либо, в случае отрицательной степени однородности, значения <math>\mathbf{v}=0.</math>) Однородная функция нулевой степени, если она определена в нуле, может принимать в этой точке любое значение.
14. Если однородная функция нулевой степени непрерывна в нуле, то она является константой (произвольной). Если однородная функция отрицательной степени непрерывна в нуле, то она тождественный ноль. (Преобразованием <math> \mathbf{v'} = \lambda \mathbf{v}</math> можно любую точку <math>\mathbf{v}</math> сколь угодно близко приблизить к нулю. Поэтому если функция в нуле непрерывна, то можно выразить значение функции в точке <math>\mathbf{v}</math> через её значение в точке <math>\mathbf{0}</math> с помощью соотношения <math> \lim_{\lambda\to0} \lambda^q f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{0}).</math>)
15. Однородная функция положительной степени в нуле стремится к нулю по любому направлению, которое входит в её область определения, а однородная функция отрицательной степени —— к бесконечности, знак которой зависит от направления, если только функция не является тождественным нулём вдоль данного направления. Однородная функция положительной степени непрерывна в нуле или может быть доопределена до непрерывной в нуле, если в её область определения входит <math>\varepsilon </math>-окрестность нуля. Однородная функция нулевой степени может быть как разрывна, так и непрерывна в нуле, и в случае разрывности является константой, зависящей от направления, вдоль каждого луча с вершиной в начале координат, если направление входит в её область определения. (Получается при подстановке в равенство <math>(*)</math> значения  <math>\lambda \to 0. </math>)
16. Если однородная функция <math>f</math> в нуле является аналитической (то есть, разлагается в сходящийся ряд Тейлора с ненулевым радиусом сходимости), то она является многочленом (однородным многочленом). В частности, в этом случае порядок однородности должен быть натуральным числом или нулём. (Для доказательства достаточно представить функцию в виде ряда Тейлора, сгруппировать вместе члены ряда Тейлора <math>c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}</math> с одинаковыми порядками однородности <math>k_j=i_1+i_2+\dots+i_n</math>, подставить результат в равенство <math>(*)</math> и использовать, что степенные функции <math>\lambda^{k_1},\lambda^{k_2},\dots</math> с разными показателями степени, в том числе и нецелочисленными, являются линейно независимыми.)
17. Функция  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1) </math> , где  <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — функция  <math> (n-1) </math>  переменных, является однородной функцией с порядком однородности  <math> q. </math>  Функция  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), </math>  где  <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — функция  <math> (n-1) </math>  переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности  <math> q. </math> 
18. Соотношение Эйлера: для дифференцируемых однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:  <math> \mathbf{v} \cdot \nabla f(\mathbf{v}) = qf(\mathbf{v})</math>  или, в эквивалентной записи,  <math> \sum x_k f'_{x_k} = qf.</math>  Получается при дифференцировании равенства <math>(*)</math> по  <math>\lambda</math>  при  <math>\lambda=1.</math> 
19. Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  <math>q</math> , то её первые частные производные по каждой из независимых переменных <math>f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n)</math> — это однородные функции c порядком однородности  <math>q-1</math>.  Для доказательства достаточно продифференцировать по  <math>x_k</math>  правую и левую части тождества  <math>f(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^q f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>  и получить тождество  <math>f'_{x_k}(\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) = \lambda^{q-1} f'_{x_k}(x_1, x_2, \ldots, x_n).</math> 
20. Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — однородная функция c порядком однородности  <math>q</math> , то её интеграл (при условии существования такого интеграла) по любой независимой переменной начиная от нуля <math>F(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1}f(t,x_2,...,x_n)dt</math>  — это однородные функции c порядком однородности  <math>q+1.</math> Доказательство: <math>F(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=</math><math>\int_0^{\lambda x_1}f(t,\lambda x_2,...,\lambda x_n)dt=</math><math>\lambda \int_0^{x_1}f(\lambda t',\lambda x_2,...,\lambda x_n)dt'=</math><math>\lambda^{q+1} \int_0^{x_1}f(t',x_2,...,x_n)dt'=</math><math>\lambda^{q+1} F(x_1,x_2,...,x_n)</math> (здесь сделана замена переменной интегрирования <math>t=\lambda t'</math>).
21. Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — однородная функция c порядком однородности  <math>q</math> , то её дробная производная (дифферинтеграл) порядка <math>\alpha</math>, вычисляемая как <math>G(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dx_1^n}\int_0^{x_1} (x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,x_2,...,x_n)\,dt</math> по любой независимой переменной начиная от нуля (при условии существования соответствующего интеграла, для чего требуется выбирать <math>n>\alpha</math>) — это однородные функции c порядком однородности  <math>q-\alpha.</math> Рассмотрим функцию <math>H(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1} (x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,x_2,...,x_n)\,dt</math> . Тогда <math>H(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=</math><math>\int_0^{\lambda x_1} (\lambda x_1-t)^{n-\alpha-1}f(t,\lambda x_2,...,\lambda x_n)\,dt=</math><math>\lambda \int_0^{x_1} (\lambda x_1-\lambda t')^{n-\alpha-1}f(\lambda t',\lambda x_2,...,\lambda x_n)\,dt'=</math><math>\lambda^{q+n-\alpha} \int_0^{x_1}(x_1-t')^{n-\alpha-1}f(t',x_2,...,x_n)dt'=</math><math>\lambda^{q+n-\alpha} H(x_1,x_2,...,x_n)</math> (здесь сделана замена переменной интегрирования <math>t=\lambda t'</math>). После <math>n</math>-кратного дифференцирования по переменной <math>x_1</math> однородная функция <math>H(x_1,x_2,...,x_n)</math> порядка <math>q+n-\alpha</math> становится однородной функцией c порядком однородности  <math>q-\alpha</math> .
22. Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — однородная функция c порядком однородности  <math>q</math> , то её <math>n</math>-мерная свёртка с обобщённым Абелевым ядром, вычисляемая как <math>H(x_1,x_2,...,x_n)=\int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (x_1^{k_1}-t_1^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(x_n^{k_n}-t_n^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)\,dt_1\dots dt_n</math> (при условии существования соответствующего интеграла) — это однородная функция c порядком однородности  <math>q+\mu_1+\dots+\mu_n</math> . Доказательство: <math>H(\lambda x_1,\lambda x_2,...,\lambda x_n)=</math><math>\int_0^{\lambda x_1}\dots\int_0^{\lambda x_n} (\lambda^{k_1} x_1^{k_1}-t_1^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(\lambda^{k_n} x_n^{k_n}-t_n^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1,...,t_n)\,dt_1\dots dt_n=</math><math>\lambda^n \int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (\lambda^{k_1} x_1^{k_1}-\lambda^{k_1} t_1'^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(\lambda^{k_n} x_n^{k_n}-\lambda^{k_n} t_n'^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(\lambda t_1',...,\lambda t_n')\,dt_1'\dots dt_n'=</math><math>\lambda^{q+\mu_1+\dots+\mu_n} \int_0^{x_1}\dots\int_0^{x_n} (x_1^{k_1}-t_1'^{k_1})^{\left(\mu_1-1\right)/k_1}\dots(x_n^{k_n}-t_n'^{k_n})^{\left(\mu_n-1\right)/k_n}f(t_1',...,t_n')\,dt_1'\dots dt_n'=</math><math>\lambda^{q+\mu_1+\dots+\mu_n} H(x_1,x_2,...,x_n)</math> , где сделана замена переменных интегрирования <math>t_k=\lambda t_k'</math> . (Примечание: возможно выполнение свёртки только по части переменных.)

Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности <math> q </math> может быть представлена в форме

     <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), </math> 

где  <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — некоторая функция  <math> (n-1) </math>  переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности  <math> q </math>  может быть представлена как

  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = |x|^q\cdot h(x_2/x_1,x_3/x_1,...,x_n/x_1), </math> 

где  <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — некоторая функция  <math> (n-1) </math>  переменных.

Следствие. Любая однородная функция степени <math>q</math> (абсолютно-однородная функция степени <math>q</math>) может быть представлена в форме

     <math>f(x_1,x_2,...,x_n)=\phi(x_1,x_2,...,x_n)\cdot h(\phi_1(x_1,x_2,...,x_n),\phi_2(x_1,x_2,...,x_n),...,\phi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_n)),</math> 

где  <math>h(t_1,t_2,...,t_{n-1})</math> — некоторая подходящая функция  <math> (n-1) </math>  переменных, <math>\phi(x_1,x_2,...,x_n)</math> — фиксированная однородная функция степени <math>q</math> (фиксированная абсолютно-однородная функция степени <math>q</math>), а <math>\phi_1(x_1,x_2,...,x_n),</math> <math>\phi_2(x_1,x_2,...,x_n))</math>, ..., <math>\phi_{n-1}(x_1,x_2,...,x_n))</math> — фиксированные функционально-независимые однородные функции нулевой степени. При фиксированном выборе функций <math>\phi,\phi_1,\phi_2,...,\phi_{n-1}</math> это представление задаёт взаимно-однозначное соответствие между однородными функциями <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> степени <math>q</math> от <math>n</math> переменных и функциями <math>h(t_1,t_2,...,t_{n-1})</math> от <math>(n-1)</math> переменных.

Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы дифференцируемая функция  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) </math>  была однородной функцией с порядком однородности  <math> q, </math>  необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

 <math> \sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n). </math> 

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности <math>(*)</math> справедливо в некотором интервале значений  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]\sub \left[0,\infty\right),</math>  то оно справедливо для всех  <math>\lambda>0.</math> 

Лямбда-однородные функции

Пусть задан вектор  <math> \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n). </math>  Функция <math>n</math> переменных  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math>  называется <math>\lambda</math>-однородной c порядком однородности  <math>q</math> , если при любых  <math>t>0</math>  и любых  <math> \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)\in {\R}^n </math>  справедливо тождество

<math> f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^qf(x_1,x_2,...,x_n). </math>

При  <math>\lambda_k=1</math>  <math>\lambda</math>-однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  <math>q</math>  вводят степень однородности  <math>m</math>,  определяемую из соотношения

<math> f(t^{\lambda_1}x_1,t^{\lambda_2}x_2,...,t^{\lambda_n}x_n) = t^{m\frac{|\mathbf{\lambda}|}{n}}f(x_1,x_2,...,x_n), </math>

где  <math> |\mathbf{\lambda}|=\sum|\lambda_k|. </math>  Для обычных однородных функций порядок однородности  <math>q</math>  и степень однородности  <math>m</math>  совпадают.

Если частные производные  <math>f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n)</math>  непрерывны в <math>\R^n</math>, то для <math>\lambda</math>-однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  <math>\lambda</math>-однородности в точке  <math>t=1</math>:

<math> \sum \lambda_x x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n). </math>

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math>  была <math>\lambda</math>-однородной функцией с вектором  <math> (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) </math>  и порядком однородности  <math>q.</math>  Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию  <math> \varphi(t) = t^{-q} f(t^{\lambda_1} x_1,t^{\lambda_2} x_2,...,t^{\lambda_n} x_n)</math>  и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  <math>\varphi(t) \equiv \varphi(1).</math>

Если  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math> — <math>\lambda</math>-однородная функция с вектором  <math> \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</math>  и порядком однородности  <math>q</math>,  то она же является <math>\lambda</math>-однородной функцией с вектором <math> \mathbf{\lambda} = (\alpha\lambda_1,\alpha\lambda_2,...,\alpha\lambda_n)</math>  и порядком однородности  <math>\alpha q</math>  (следует из подстановки в тождество для <math>\lambda</math>-однородности нового параметра  <math>t'\to t^{\alpha}</math>). В силу этого при рассмотрении <math>\lambda</math>-однородных функций достаточно ограничиваться случаем  <math> \sum|\lambda_k|=const. </math>  В частности, нормировка  <math> \sum|\lambda_k|</math>  может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  <math>q</math>  был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что  <math> \lambda_k \neq 0. </math> 

При замене переменных  <math> x_k=y_k^{\lambda_k}</math>  <math>\lambda</math>-однородная функция  <math>f(x_1,x_2,...,x_n)</math>  с вектором  <math> \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</math>  и порядком однородности  <math>q</math>  переходит в обычную однородную функцию  <math>g(y_1,y_2,...,y_n)</math>  с порядком однородности  <math>q</math>.  Отсюда следует, что общее представление для <math>\lambda</math>-однородных функций с вектором  <math> \mathbf{\lambda} = (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)</math>  и порядком однородности  <math>q</math>  имеет вид:

<math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^{q/\lambda_1}\cdot h(x_2^{1/\lambda_2}/x_1^{1/\lambda_1}, x_3^{1/\lambda_3}/x_1^{1/\lambda_1}, \ldots, x_n^{1/\lambda_n}/x_1^{1/\lambda_1}), </math>

где <math> h(t_2,t_3,...,t_n) </math> — некоторая функция <math> (n-1) </math> переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php Шаблон:Wayback), раздел 8.8.4.

Оператор Эйлера

Дифференциальный оператор

<math>x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + x_n\frac{\partial f}{\partial x_n} </math>

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Соответственно, функциями, обращающими оператор Эйлера в константу, являются логарифмы однородных функций и только они. Функциями, обращающими оператор Эйлера в ноль, являются однородные функции нулевого порядка и только они (логарифм однородной функции нулевого порядка сам является однородной функцией нулевого порядка).

Аналогичным образом для дифференциального оператора

<math>\lambda_1 x_1\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n\frac{\partial f}{\partial x_n} </math>

собственными функциями являются <math>\lambda</math>-однородные функции с вектором  <math>(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) </math>  и только они, причём собственным значением является порядок однородности <math>\lambda</math>-однородной функции. В константу же этот дифференциальный оператор обращают логарифмы <math>\lambda</math>-однородных функций с вектором  <math>(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n) </math>, и никакие другие функции.

Дальнейшим обобщением оператора Эйлера служит дифференциальный оператор

<math>\lambda_1 x_1^{\mu_1}\frac{\partial f}{\partial x_1} + \lambda_2 x_2^{\mu_2}\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + \lambda_n x_n^{\mu_n}\frac{\partial f}{\partial x_n}, </math>

который сводится к оператору Эйлера <math>y_1\frac{\partial f}{\partial y_1} + y_2\frac{\partial f}{\partial y_2} + \ldots + y_n\frac{\partial f}{\partial y_n} </math> заменой <math>y_k=\exp\left(\frac{x^{1-\mu_k}}{\lambda_k\left(1-\mu_k\right)}\right) </math> при <math>\mu_k\ne1;</math> <math>y_k=x^{1/\lambda_k}</math> при <math>\mu_k=1.</math> Также к оператору Эйлера с помощью замены <math>y_k=\exp\left(\int_{a_k}^x\frac{dt}{h_k(t)}\right) </math> сводятся все дифференциальные операторы вида <math>h_1(x_1)\frac{\partial f}{\partial x_1} + h_2(x_2)\frac{\partial f}{\partial x_2} + \ldots + h_n(x_n)\frac{\partial f}{\partial x_n} . </math>

Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions Шаблон:Wayback (PlanetMath.org)

Ограниченно однородные функции

Функция  <math>f(x_1,x_2,\ldots,x_n): \R^n\to\R</math>  называется ограниченно однородной с показателем однородности  <math>q</math>  относительно множества положительных вещественных чисел  <math>\Lambda</math>  (называемого множеством однородности), если для всех  <math>\vec x\in \R^n</math>  и для всех  <math>\lambda \in \Lambda</math>  справедливо тождество

<math> f(\lambda \vec x) = \lambda^q f(\vec x). </math>

Множество однородности  <math>\Lambda</math>  всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  <math>\Lambda</math>  не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right]</math> — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  <math>\Lambda \neq \{ 1 \} </math>  и у которых множество однородности  <math>\Lambda</math>  сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  <math>f(x)=x^q\sin(\log |x|)</math>  является ограниченно однородной с показателем однородности  <math>q</math>  относительно множества  <math>\Lambda=\{e^{2\pi m}\},</math>  где  <math>m</math> — целые числа.

Пример 2. Функция  <math>f(x,y,z)=(x^2+2y^2+3z^2)^{q/2}\cos(\log \sqrt{x^2-xy+y^2})</math>  является ограниченно однородной с показателем однородности  <math>q</math>  относительно множества  <math>\Lambda=\{e^{2\pi k}\},</math>  где  <math>k</math> — целые числа.

Теорема. Чтобы функция  <math> f(x_1,x_2,...,x_n),</math>  определённая при  <math>x_1>0,</math>  была ограниченно однородной с порядком однородности  <math>q,</math>  необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

 <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log x_1,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1),</math> 

где  <math> H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>y</math>  с по крайней мере одним периодом, не зависящим от  <math> t_2,t_3,\ldots,t_n.</math>  В таком случае множество однородности  <math>\Lambda</math>  состоит из чисел  <math>\{e^{Y_k}\}, </math>  где  <math>Y_k</math> — периоды функции  <math> H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),</math>  не зависящие от  <math> t_2,t_3,\ldots,t_n.</math> 

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

 <math> x_1,x_2,...,x_n \to x_1,t_2,...,t_n,</math>  где  <math> t_k = x_k/x_1, </math> 

так что  <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = g(x_1,t_2,...,t_n). </math>  Если теперь рассмотреть функцию  <math> h(x_1,t_2,...,t_n) = g(x_1,t_2,...,t_n)/x_1^q, </math>  то из условия однородности получаем для всех допустимых  <math>x_1</math>  равенство

 <math> h(\lambda x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,t_3,...,t_n), </math> 

которое будет справедливым, когда  <math>\lambda\in\Lambda.</math>  Если только множество  <math>\Lambda</math>  не состоит из одной лишь единицы, то после замены  <math> x_1 = \exp(y) </math>  функция

 <math> H(y,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n) = h(x_1,t_2,...,t_n) </math> 

оказывается периодической по переменной  <math>y</math>  с ненулевым периодом  <math>\log\lambda</math>  для любого выбранного фиксированным образом  <math>\lambda\in\Lambda,</math>  поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

 <math> H(\log x_1 + \log\lambda,t_2,...,t_n) = H(\log x_1,t_2,...,t_n). </math> 

Очевидно, что выбранное фиксированное значение <math>\log\lambda</math>  будет периодом функции  <math> H(y,t_2,...,t_n)</math>  сразу при всех  <math> t_2,...,t_n. </math> 

Следствия:

1. Если имеется наименьший положительный период  <math>Y>0,</math>  не зависящий от  <math> t_2,t_3,\ldots,t_n,</math>  то множество однородности  <math>\Lambda</math>  имеет вид  <math>\{e^{mY}\},</math>  где  <math>m=0,\pm1,\pm2,\dots</math> — произвольные целые числа. (Если  <math>Y</math> — наименьший положительный период функции  <math> H(y,...), </math>  то и все  <math>Y_m=mY</math> — её периоды, поэтому числа  <math>\{e^{mY}\} </math>  будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  <math>\lambda_{*}=e^{Y_{*}},</math>  что  <math>e^{mY} < e^{Y_{*}} < e^{(m+1)Y}, </math>  то  <math> Y_{*} - mY </math>  окажется положительным периодом, не зависящим от  <math> t_2,...,t_n, </math>  который будет меньше, чем  <math>Y.</math> )
2. Если функция  <math> H(y,\ldots) </math> — это константа по переменной  <math>y,</math>  то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае  <math> H(y,\ldots) </math>  не зависит от переменной  <math>y,</math>  и функция
       <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = x_1^q \cdot H(x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1)</math> 
   — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  <math>\Lambda</math>  в этом случае — вся положительная полуось  <math>\lambda>0</math>  (по меньшей мере).
3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции  <math> H(y,...) </math>  не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности  <math> \Lambda </math>  может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений  <math> t_2,t_3,\ldots,t_n</math>  у периодической функции  <math> H(y,...) </math>  есть предел по переменной  <math> y</math>  хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  <math>y.</math> 
4. Ограниченно однородные функции, определённые при  <math>x<0,</math>  имеют вид
       <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = (-x_1)^q \cdot H(\log (-x_1),x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1)</math> 
   с надлежащим образом выбранной функцией  <math> H(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),</math>  периодической по переменной  <math>y.</math> 
5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  <math>x=0,</math>  имеют вид
       <math> f(x_1,x_2,...,x_n) = |x_1|^q \cdot H_{\pm}(\log |x_1|,x_2/x_1,x_3/x_1,\ldots,x_n/x_1),</math> 
   с надлежащим образом выбранной функцией  <math> H_{\pm}(y,t_2,t_3,\ldots,t_n),</math>  периодической по переменной  <math>y</math>  (где обозначение  <math> H_{\pm}(\ldots)</math>  подчёркивает, что для интервала значений  <math>x_1>0</math>  и для интервала значений  <math>x_1<0</math>  выбираются, вообще говоря, разные периодические функции <math>H(y)</math>, каждая с областью определения <math>y\in(-\infty,+\infty)</math>, но обязательно имеющие при этом один и тот же период).
6. Формула  <math> f(x_1,...,x_n) = x_1^q \cdot H(\log |x_1|,x_2/x_1,\ldots,x_n/x_1),</math>  является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию  <math> H(y,t_2,\dots,t_n\ldots) </math>  как  <math> G\left(w\cdot y+\log W(t_2,\dots,t_n),t_2,\dots,t_n\right),</math>  где период функции  <math> G\left(t,t_2,\dots,t_n\right)</math>  равен  <math> 2\pi,</math>  нормировочный множитель  <math> w</math>  не зависит от  <math>t_2,\dots,t_n,</math>  а функция  <math>W(t_2,\dots,t_n)</math>  выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
       <math> f(x_1,...,x_n) = F(\log Q(x_1,\ldots,x_n), x_1,\ldots,x_n),</math> 
   где  <math> F(y, x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> — однородная функция с показателем однородности  <math> q </math>  по переменным  <math> x_1,x_2,\ldots,x_n</math>  и периодическая с периодом  <math> 2\pi</math>  по переменной  <math> y, </math>   <math> Q(x_1,x_2,\ldots,x_n),</math> — фиксированная однородная функция с показателем однородности  <math> w </math>  по переменным  <math> x_1,x_2,\ldots,x_n,</math>  а множество однородности имеет вид  <math> \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},</math>  где  <math> m=0,\pm1,\pm2,\dots</math> — произвольные целые числа.
7. Разлагая периодическую функцию  <math> F(y, x_1,\ldots,x_n)</math>  из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
       <math> A_0(x_1,\ldots,x_n)+\sum A_k(x_1,\ldots,x_n)\cos k \log Q(x_1,\ldots,x_n)+B_k(x_1,\ldots,x_n)\sin k \log Q(x_1,\ldots,x_n),</math> 
   где  <math> A_k(x_1,\ldots,x_n)</math>  и  <math> B_k(x_1,\ldots,x_n)</math> — произвольные однородные функции с показателем однородности  <math> q, </math>   <math> Q(x_1,\ldots,x_n)</math> — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности  <math> w, </math>  а множество однородности  <math> \Lambda=\{e^{mY}\},</math>  записано как  <math> \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\},</math>  где  <math> m</math> — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности  <math> q </math>  и множеством однородности  <math> \Lambda=\{e^{2\pi m/w}\}.</math>  В частности, замена фиксированной функции  <math> Q(x_1,\ldots,x_n)</math>  на набор произвольных однородных функций  <math> Q_k(x_1,\ldots,x_n)</math>  не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.

Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function Шаблон:Wayback (PlanetMath.org).

Присоединённые однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Взаимно однородные функции

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями

1. Пусть

 <math>f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C\left(\lambda\right)f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math> 

при некоторой функции  <math>C\left(\lambda\right)</math>  на интервале  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right].</math>  Какова должна быть функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)?</math> 

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  <math>\lambda.</math>  Получим

 <math> x_1\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_1)}+x_2\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_2)}+\dots+x_n\frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_n)} = \frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda} f (x_1,\dots,x_n).</math> 

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  <math>x_k,</math>  получим соотношения

 <math>\lambda \frac{\partial f(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)}{\partial (\lambda x_k)} = C\left(\lambda\right) \frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_k}.</math> 

Отсюда

 <math> \frac{1}{f(x_1,\dots,x_n)}\left(x_1\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1}+\dots+x_n\frac{\partial f(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_n}\right) = \frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}.</math> 

Правая часть зависит только от  <math>\lambda,</math>  левая часть зависит только от  <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>  Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  <math>q.</math>  Из условия  <math>\frac{\lambda}{C\left(\lambda\right)}\frac{\partial C\left(\lambda\right)}{\partial \lambda}=q</math>  и условия  <math>C\left(1\right)=1</math>  следует, что  <math>C\left(\lambda\right)=\lambda^q.</math>  Следовательно,  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math> — однородная функция с параметром однородности <math>q.</math>  Вырожденные случаи <math>C\left(\lambda\right)\equiv 0</math>  и <math>f\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\equiv 0</math>  рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  <math>C\left(1\right)=1,</math>  вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  <math>C\left(\lambda\right)</math>  за пределами интервала  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right].</math> . Из равенства

 <math>\frac{1}{f}\left(x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\dots+x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}\right) = q</math> 

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math> — однородная функция с параметром однородности <math>q.</math>  Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  <math>\lambda\in\left[\lambda_0-\varepsilon,\lambda_0+\varepsilon\right],</math>  то оно справедливо при всех  <math>\lambda>0.</math> 

2. Пусть

 <math>f\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math> 

при некоторых фиксированных значениях  <math> C \neq 0, </math>   <math>\lambda \ne 1</math>  и произвольных  <math> x_1, x_2, \dots, x_n. </math>  Какова должна быть функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)?</math> 

Решение. Если  <math> x_1 = 0, </math>  то задача сводится к функциональному уравнению меньшей размерности

 <math>f\left(0, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n\right)=C f\left(0, x_2, \dots, x_n\right), </math> 

пока не сведётся к случаю  <math>f\left(0, 0, \dots, 0\right)=C f\left(0, 0, \dots, 0\right)</math>  с очевидным ответом <math>f\left(0, 0, \dots, 0\right)=0.</math>  Поэтому далее можно рассматривать только случай  <math> x_1 \neq 0. </math> 

Сделаем замену переменных  <math>x_1=y,</math>   <math>x_2=t_2 \cdot y,</math>   <math>x_3=t_3 \cdot y,</math>   <math>x_n=t_n \cdot y.</math>  Тогда  <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)\to F(y,t_2,\dots,t_n)</math>  и функциональное уравнение принимает вид

 <math>F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(y, t_2, \dots, t_n\right).</math> 

Следует отдельно рассматривать случаи  <math>C>0</math>  и  <math>C<0,</math>   <math>\lambda>0</math>  и  <math>\lambda<0,</math>   <math>y>0</math>  и  <math>y<0.</math>  Пусть  <math>C>0,</math>   <math>\lambda>0</math>  и  <math>y>0.</math>  Тогда после логарифмирования обеих частей равенства и замены  <math>\log y \to t ,</math>   <math>\log F(y,\dots) \to \Phi (t,\dots)</math>  получаем условие

 <math>\Phi\left(t+\log\lambda, \dots\right)=\log C + \Phi\left(t, \dots\right),</math> 

откуда следует, что  <math>\Phi\left(t, \dots\right)</math>  имеет вид  <math>\Omega\left(t, \dots\right) + \frac{\log C}{\log \lambda}t,</math>  где  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>\log \lambda.</math>  Обратное очевидно: функция

 <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log x_1, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right),</math> 

где  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>\log \lambda,</math>  удовлетворяет требуемому функциональному соотношению для  <math>x_1>0.</math> 

Для полуоси  <math>x_1<0</math>  используется замена  <math>\log (-y) \to t</math>  и после аналогичных рассуждений получаем окончательный ответ:

а) если  <math> x_1 > 0 </math>  то  <math> f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{+}\left(\log (+x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (+x_1)}{\log \lambda}\right),</math> 

б) если  <math>x_1 < 0</math>  то  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{-}\left(\log (-x_1), x_2/x_1, \dots x_n/x_1\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log (-x_1)}{\log \lambda}\right),</math> 

или, в сокращённой форме

 <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log C \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right),</math> 

где обозначение  <math>\Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \dots\right)</math>  подчёркивает, что при  <math>x_1>0</math>  и при  <math>x_1<0</math> это, вообще говоря, две разные периодические функции  <math>\Omega_{+}\left(t,\dots\right)</math> и  <math>\Omega_{-}\left(t,\dots\right)</math>, каждая с областью определения  <math>t\in(-\infty,+\infty)</math> и разными значениями для этой области, но при этом с одинаковым периодом. 

Случай  <math>C<0,</math>   <math>\lambda>0</math>  упрощается тем, что из цепочки соотношений

 <math>F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right)</math> 

следует уже рассмотренный нами случай. Поэтому функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math>  может быть записана как

 <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega_{\pm}\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log \lambda}\right),</math> 

где  <math>\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)</math> — некоторая функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>2\log \lambda.</math>  Подстановка этого выражения в исходное уравнение показывает, что  <math>\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)</math> — не просто периодическая функция с периодом  <math>2\log \lambda,</math>  но анти-периодическая с периодом  <math>\log \lambda:</math> 

 <math>\Omega_{\pm}\left(t+\log\lambda, \dots\right)=-\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)</math> 

(очевидным образом анти-периодичность с периодом  <math>\log \lambda</math>  влечёт за собой периодичность с периодом  <math>2\log \lambda</math>). Обратное очевидно: указанная формула с анти-периодической функцией  <math>\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right)</math>  удовлетворяет требуемому функциональному уравнению.

Случай  <math>\lambda<0</math>  имеет дополнительную особенность, что полуоси  <math>y<0</math>  и  <math>y>0</math>  влияют друг на друга. Рассмотрим случай <math>y>0.</math>  Тогда из цепочки соотношений

 <math>F\left(\lambda^2 y, t_2, \dots, t_n\right)=C F\left(\lambda y, t_2, \dots, t_n\right) = C^2 F\left(y, t_2, \dots, t_n\right)</math> 

следует, что при  <math>x_1>0</math>  функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math>  должна иметь вид

 <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right) = \Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),</math> 

где  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>2\log |\lambda|</math>  и областью определения  <math>t\in(-\infty,+\infty).</math>  Поскольку  <math>\lambda<0,</math>  то каждой положительной точке  <math>x_1>0</math>  взаимно-однозначно соответствует отрицательная точка  <math>\lambda x_1 <0 </math>  со значением функции, равным  <math>C f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right).</math> . В результате с учётом периодичности функции  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math>  функция  <math>f\left(x_1, x_2, \dots, x_n\right)</math>  вычисляется как

а) при  <math>x_1>0:</math>   <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\Omega\left(\log |x_1|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right)\exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),</math> 

б) при  <math>x_1<0:</math>   <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)=sign(C) \cdot \Omega\left(\log |x_1| + \log|\lambda|, \frac{x_2}{x_1}, \dots \frac{x_n}{x_1}\right) \exp\left(\frac{\log |C| \cdot \log |x_1|}{\log |\lambda|}\right),</math> 

где  <math>\Omega\left(t, \dots\right)</math> — функция, периодическая по переменной  <math>t</math>  с периодом  <math>2\log |\lambda|.</math>  Как легко проверить, определённая подобным образом функция  <math>f(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>  для случая  <math>\lambda<0</math>  действительно удовлетворяет нужному функциональному уравнению как при  <math>x_1>0,</math>  так и при  <math>x_1<0.</math> 

Примечание. Если некоторая функция удовлетворяет указанному функциональному уравнению при некоторых  <math>C_0, \lambda_0,</math>  то легко заметить, что она удовлетворяет этому же функциональному уравнению и при других наборах значений  <math>\left(C,\lambda\right).</math>  Так, для случая  <math>C_0>0, \lambda_0>0</math>  множеством таких пар будут  <math>\lambda_k=\lambda_{0}^{k/m}, </math>   <math>C_k=C_0^{k/m}</math>  при любых ненулевых целочисленных значениях  <math>k=\pm1,\pm2,\dots,</math>  где целое число  <math>m</math>  выбрано так, чтобы величина  <math>|\log\lambda_{0}|/m</math>  была наименьшим положительным периодом для функции  <math>\Omega_{\pm}\left(t, \dots\right).</math>  Введя обозначение  <math>q=\log C_0/\log \lambda_0</math>  так что  <math>C_0=\lambda_0^q,</math>  получим условие  <math>C_k\equiv\left(\lambda_k\right)^q, </math>  соответствующее ограниченно однородным функциям. Замена  <math>\exp\left(\frac{\log C \cdot \log x_1}{\log \lambda}\right)\to x_1^q</math>  приводит представление ограниченно однородных функций к привычному виду.

3. Дополнительные функциональные уравнения имеются в разделах «Присоединённые однородные функции» и «Взаимно однородные функции» этой статьи.

Однородные обобщённые функции

Обобщённые функции или распределения определяются как линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве «достаточно хороших» функций. В случае однородных обобщённых функций в качестве «достаточно хороших» функций удобно использовать пространство  <math>\mathbb{S}</math>  функций  <math>\varphi(x)=\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n),</math>  имеющих производные любого порядка и при  <math>\left|x\right|\to\infty</math>  убывающих быстрее любой степени  <math>\frac{1}{\left|x\right|}.</math>  При этом любой обычной функции <math>f(x)</math>,  интегрируемой в любой конечной области, ставится в соответствие функционал

<math> T_f \left[\varphi\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\varphi(x)dx, </math>

определённый в пространстве  <math>\varphi\in\mathbb{S}</math>  и являющийся очевидным образом линейным и непрерывным. Обобщённые функции позволяют упростить рассмотрение многих вопросов анализа (так, всякая обобщённая функция имеет производные любого порядка, допускает преобразование Фурье и т. д.), а также узаконить такие экзотические объекты, как  <math>\delta</math>-функция и её производные.

Для обычных интегрируемых функций  <math>f(x_1,\dots,x_n),</math>  являющихся однородными с показателем однородности  <math>q,</math>  справедливо легко проверяемое тождество

<math> T_f \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_f \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right]. \qquad\qquad\qquad (**)</math>

Данное тождество принимается за определение обобщённой однородной функции: однородная обобщённая функция с показателем однородности  <math>q</math>  (вообще говоря, комплексным) есть линейный непрерывный функционал, определённый в пространстве  <math>\varphi\in\mathbb{S}</math>  и удовлетворяющий тождеству (**).

Похожим способом определяются присоединённые однородные обобщённые функции. Присоединённая однородная обобщённая функция  <math>T_k\left[\varphi\right]</math>  порядка  <math>k</math>  с показателем однородности  <math>q</math> — это линейный непрерывный функционал, для всякого  <math>\lambda>0</math>  удовлетворяющий соотношению

<math> T_k \left[\varphi\left(\frac{x_1}{\lambda},\frac{x_2}{\lambda},\dots,\frac{x_n}{\lambda}\right)\right] = \lambda^{q+n}T_k \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right] + \lambda^{q+n}\log\lambda \cdot T_{k-1} \left[\varphi\left(x_1,x_2,\dots,x_n\right)\right], </math>

где  <math>T_{k-1}\left[\varphi\right]</math> — это некоторая присоединённая однородная обобщённая функция  <math>(k-1)</math> —го порядка с показателем однородности  <math>q.</math>  Присоединённая однородная обобщённая функция нулевого порядка  с показателем однородности  <math>q</math> — это обычная однородная обобщённая функция с показателем однородности  <math>q.</math> 

Пример. Обобщённая функция  <math>\delta(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> — однородная обобщённая функция с показателем однородности  <math>(-n)</math>  поскольку  <math>\delta[\varphi({x_{1}}/\lambda,{x_{2}}/\lambda,\dots,{x_{n}}/\lambda)]=\varphi(0,0,\dots,0)=\delta[\varphi(x_1,x_2,\dots,x_n)].</math> 

Исследование однородных обобщённых функций позволяет придать содержательный смысл интегралам с сингулярными особенностями, в обычном смысле не интегрируемыми. Например, рассмотрим обобщённую функцию  <math>T^{+}_{q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx. </math>  Этот функционал определён при  <math>Re(q) > -1 </math>  и, как легко проверить, является однородной обобщённой функцией с показателем однородности  <math>q.</math>  Величину  <math> T^{+}_{q} </math>  при фиксированном выборе пробной функции  <math> \varphi\left(x\right)</math>  можно рассматривать как функцию комплексного переменного  <math>q</math>  и, вообще говоря, аналитически продолжить её вне данного диапазона. А именно, правая и левая части равенства

 <math>\int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx + \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)},</math> 

аналитичны по переменной  <math> q </math>  и тождественно равны друг другу при  <math>Re (q) > -1. </math>  Однако правая часть равенства имеет смысл и аналитична также и при  <math>Re (q) > -n. </math>  В силу этого правая часть равенства — это аналитическое продолжение левой части равенства для  <math>Re (q) > -n. </math>  Как результат, равенство

 <math>T^{+}_{q}[\varphi(x)] = \int_{1}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx + \int_{0}^{1} x^{q} \left(\varphi(x) - \sum_{k=0,n}x^k\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!}\right) dx + \sum_{k=0,n}\frac{\varphi^{(k)}(0)}{k!(q+k+1)},</math> 

задаёт линейный непрерывный функционал, являющийся расширением определённого ранее функционала  <math> T^{+}_{q} </math>  вплоть до значений  <math>Re (q) > -n. </math>  Формулы для  <math>Re (q) > -n </math>  и для  <math>Re (q) > -m </math>  дают один и тот же результат при одинаковых значениях  <math>q, </math>  при которых они обе имеют смысл: это определение непротиворечиво. Обобщённая функция  <math> T^{+}_{q}, </math>  определённая теперь для всех  <math> q, </math> , по-прежнему является однородной обобщённой функцией, поскольку соотношение однородности сохраняется при аналитическом продолжении.

С помощью  <math>T^{+}_{q}\left[\varphi\right]</math>  определятся регуляризированные значения интеграла  <math>\int_{0}^{+\infty} x^{q} \varphi(x) dx, </math>  имеющие смысл при любых комплексных  <math>q.</math>  Исключениями являются целочисленные значения  <math>q=-1,-2,\dots,-n,\dots,</math>  где регуляризированный интеграл является сингулярным: функционал  <math>T^{+}_{q}\left[\varphi\right]</math>  как функция переменной  <math>q</math>  в точке  <math>q=-n</math>  имеет простой полюс с вычетом  <math>\varphi^{(n-1)}(0)/(n-1)!.</math> 

По той же схеме может быть аналитически продолжена для  <math>Re (q) \le -1 </math>  присоединённая однородная функция  <math>T^{+}_{p,q}\left[\varphi\right] = \int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx. </math>  С её помощью определяются регуляризированные значения для интегралов  <math>\int_{0}^{+\infty} x^{q} \log^p(x) \varphi(x) dx, </math>  имеющие смысл при  <math>Re (q) \le -1. </math> 

Аналогичным, но более сложным образом конструируются однородные обобщённые функции и присоединённые однородные обобщённые функции для случая  <math> n </math>  переменных. Подробности могут быть найдены в цитируемой здесь библиографии. Теория однородных обобщённых функций позволяет конструктивно осмыслить применительно к пространству обобщённых функций обычные функции, имеющие неинтегрируемые особенности — вычислять интегралы от таких функций, находить их преобразование Фурье и т. д.

Библиография: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

См. также

• Однородный многочлен
• Однородное уравнение
• Однородное дифференциальное уравнение
• Однородные координаты