Русская Википедия:Однородное пространство
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.
Определение
Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.
- Элементы X называются точками однородного пространства.
- Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений или основной группой однородного пространства.
- Подгруппа <math>H_x<G</math>, фиксирующая элемент <math>x\in X</math>, называется стабилизатором <math>x</math>.
- Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.
Свойства
- Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами.
- Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.
Примеры
- Метрические пространства
- Евклидово пространство <math>\mathbb{E}^n</math> с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа <math>\mathrm{O}(n)</math> ортогональных преобразований.
- Стандартная сфера <math>\mathbb{S}^n</math> со следующими действиями:
- Группы <math>\mathrm{O}(n)</math> ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе <math>\mathrm{O}(n-1)</math>.
- Группы <math>\mathrm{SO}(n)</math> — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе <math>\mathrm{SO}(n-1)</math>.
- Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
- Грассманиан: <math>\mathrm{Gr}(r,n) = \mathrm{O}(n)/(\mathrm{O}(r) \times \mathrm{O}(n - r))</math>.
- Другие
- Аффинное пространство (для Шаблон:Не переведено 5, точечный стабилизатор полной линейной группы): <math>\mathbf{A}^n = \mathrm{Aff}(n, K)/\mathrm{GL}(n, k)</math>.
- Топологические векторные пространства (в топологическом смысле).
- Антидеситтеровское пространство: <math>\mathrm{AdS}_{n+1} = \mathrm{O}(2, n)/ \mathrm{O}(1, n)</math>.
Вариации и обобщения
- Метрическое пространство <math>X</math> называется <math>n</math> точечно однородным, если изометрического отображения <math>n</math>-точечно подмножества <math>K\subset X</math> в <math>X</math> можно продолжить до изометрии <math>X</math>
- Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее.
- Двойное фактор-пространство <math>G/\!/H</math> — фактор группы <math>G</math> по подгруппе <math>H<G\times G</math>, действующей на <math>G</math> справа и слева.
- Предоднородные векторные пространства — конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G такое, что существует орбита G, открытая в топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве. Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато.
См. также
Литература
