Русская Википедия:Оконное преобразование Фурье
Оконное преобразование Фурье — это разновидность преобразования Фурье, определяемая следующим образом:
- <math>F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,</math>
где <math>W(\tau-t)</math> — некоторая оконная функция. В случае дискретного преобразования оконная функция используется аналогично:
- <math> F(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]w[n-m]e^{-j \omega n} </math>
Существует множество математических формул, визуально улучшающих частотный спектр на разрыве границ окна. Для этого применяются преобразования: треугольное (Барлетта), синус-окно, синус в кубе, синус в 4-й степени, преобразование Парзена, Уэлча, Гаусса, Хеннинга, приподнятый косинус (Хэмминга), Чебышева, с пульсациями, Розенфилда, Блэкмана-Харриса, горизонтальное и с плоской вершиной. Также существует методика по взаимному перекрытию окон, при этом обычно можно выбрать сколько семплов из предыдущего окна будет усреднено с текущим окном.
Применение
На практике нет возможности получить сигнал на бесконечном интервале, так как нет возможности узнать, какой был сигнал до включения устройства и какой он будет в будущем. Ограничение интервала анализа равносильно произведению исходного сигнала на прямоугольную оконную функцию. Таким образом, результатом оконного преобразования Фурье является не спектр исходного сигнала, а спектр произведения сигнала и оконной функции. В результате возникает эффект, называемый растеканием спектра сигнала. Опасность заключается в том, что боковые лепестки сигнала более высокой амплитуды могут маскировать присутствие других сигналов меньшей амплитуды.
Для борьбы с растеканием спектра применяют более гладкую оконную функцию, спектр которой имеет более широкий главный лепесток и низкий уровень боковых лепестков. Спектр, полученный при помощи оконного преобразования Фурье, является сверткой спектра исходного идеального сигнала и спектра оконной функции.
Искажения, вносимые применением окон, определяются размером окна и его формой. Выделяют следующие основные свойства оконных функций: ширина главного лепестка по уровню -3 дБ, ширина главного лепестка по нулевому уровню, максимальный уровень боковых лепестков, коэффициент ослабления оконной функции.
Оконное преобразование Фурье применяется в связи для синтеза частотных фильтров, например, в методе частотного мультиплексирования с множеством несущих, использующим банк (гребёнку) частотных фильтров FBMC[1].
Частотно-временное разрешение
При использовании оконного преобразования Фурье невозможно одновременно обеспечить хорошее разрешение по времени и по частоте. Чем уже окно, тем выше разрешение по времени и ниже разрешение по частоте.
Разрешение по осям является постоянным. Это нежелательно для ряда задач, в которых информация по частотам распределена неравномерно. В таких задачах в качестве альтернативы оконному преобразованию Фурье может использоваться вейвлет-преобразование, временное разрешение которого увеличивается с частотой (частотное снижается).
Типы оконных функций
Прямоугольное окно
- <math>w(n)=\left\{ \begin{matrix}
1 , & n\in[0,N-1] \\ 0, & n\notin[0,N-1]\\
\end{matrix} \right.</math>
Получается автоматически при ограничении выборки N отсчетами. Максимальный уровень боковых лепестков частотной характеристики: -13 дБ.
Окно Ханна (Хеннинга)
- <math>w(n) = 0.5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right)</math>
где N — ширина окна. Уровень боковых лепестков: −31.5 дБ.
Окно Хэмминга
- <math>w(n)=0.53836 - 0.46164\; \cos \left ( \frac{2\pi n}{N-1} \right)</math>
Уровень боковых лепестков: -42 дБ.
Окно Блэкмана
- <math>w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right)</math>
- <math>a_0=\frac{1-\alpha}{2};\quad a_1=\frac{1}{2};\quad a_2=\frac{\alpha}{2}</math>
Уровень боковых лепестков: -58 дБ (α=0.16).
Окно Кайзера
- <math>w(n) = \frac { | I _0 \left ( \beta \sqrt {1 - \left ( \frac{2n-N+1}{N-1} \right )^2} \right ) | } { | I _0 (\beta) | } </math>
где <math>I_0</math> — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; <math>\beta</math> — коэффициент определяющий долю энергии, сосредоточенной в главном лепестке спектра оконной функции. Чем больше <math>\beta</math> тем больше доля энергии, и шире главный лепесток, и меньше уровень боковых лепестков. На практике используются значения от 4 до 9.
Реализация
Для оконного преобразования Фурье в цифровом виде может применяться не только взвешивание каждого цифрового отсчета в процессе формирования свертки, но и эквивалентное весовое суммирование откликов преобразования Фурье[1].
К примеру взвешивание окном Ханна (Хеннинга) и окном Хэмминга может быть представлено в виде:
- <math>w = \frac {U _1 + \beta U _2 + U _3 }{ \beta } </math>,
где <math>U _1</math>, <math>U _2</math>, <math>U _3</math> - исходные отклики преобразования Фурье, <math>w</math> - результат оконного преобразования, <math>\beta=2</math> соответствует окну Ханна (Хеннинга), <math>\beta=0.53836/0.23082</math> - окну Хэмминга[1][2].
Реализация указанного взвешивания осуществляется в режиме скользящего окна по массиву откликов преобразования Фурье.
См. также
Примечания
Внешние ссылки
- Некоторые оконные функции и их параметры Шаблон:Wayback
- Использование оконных функций в задачах цифрового спектрального анализа. Примеры и рекомендации Шаблон:Wayback
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Слюсар В.И. Современные тренды радиорелейной связи. //Технологии и средства связи. – 2014. - № 4. - С. 32 - 36. Шаблон:Wayback
- ↑ Слюсар В. И., Королев Н. А. Ващенко П. А. Метод повышения частотной избирательности систем сотовой связи, использующих цифровое диаграммообразование. // Тезисы докладов ХІV НТК. Часть 1. - Житомир: ЖВИРЭ. - 2004. - С. 77. [1] Шаблон:Wayback
.svg){kind=link}
-ru.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
.png){kind=link}
.png){kind=link}
.png){kind=link}