Файл:Apollonius circle definition labels.svg<math>d_1/d_2</math> не зависит от <math>P</math>.Файл:Apollonian circles.svgОкружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D), и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек
Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.
Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.
Пусть на плоскости даны две точки <math>A</math> и <math>B</math>. Рассмотрим все точки <math>P</math> этой плоскости, для каждой из которых отношение
<math>k = \frac{PA}{PB}</math>
есть фиксированное положительное число.
При <math>k = 1</math> эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку <math>AB</math>; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.
Замечания
Точки <math>A</math> и <math>B</math> называются фокусами окружности Аполлония.
Отрезок <math>PC</math> между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой <math>AB</math> является биссектрисой самого угла <math>\angle APB</math> или угла, смежного с ним.
Инверсия относительно окружности Аполлония меняет точки <math>A</math> и <math>B</math> местами.
Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.
О доказательствах
Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.[1]
Существует доказательство, основанное на свойстве инверсии.[2]
Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах.
